Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có đồ thị như sau

PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP

Câu hỏi: Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có đồ thị như sau

Số điểm cực đại của hàm số \(y = f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right)\) là

A. \(3\).

B. \(2\).

C. \(4\).

D. \(1\).

Lời giải

Chọn D

Cách 1: Tự luận truyền thống

Từ đồ thị của \(y = f’\left( x \right)\) ta chọn \(f’\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)\left( {x – 3} \right)\).

Áp dụng công thức \(y = {\left[ {f\left( u \right)} \right]^\prime } = u’f’\left( u \right)\) với \(u = \sqrt {{x^2} + 2x + 2} \)

Ta có

\(y’ = {\left[ {f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right)} \right]^\prime } = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 2} }}.\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2}  + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2}  – 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2}  – 3} \right)\)

\( = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2}  + 1} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {{x^2} + 2x – 7} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 2} \left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2}  + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2}  + 3} \right)}}\)\( \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  – 1\\x =  – 1 + 2\sqrt 2 \\x =  – 1 – 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có một điểm cực đại.

Cách 2: Phương pháp ghép trục

Đặt\(u = \sqrt {{x^2} + 2x + 2} \)

\(u'(x) = {(\sqrt {{x^2} + 2x + 2} )^’} = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 2} }}\)

\(u'(x) = 0 \Leftrightarrow x =  – 1\).

 Ta có BBT của hàm số \(u = u(x)\), \(y = f\left( x \right)\), \(y = f\left( u \right)\):

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số \(y = f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right)\)có một điểm cực đại.

=======