Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right).\) Đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Số điểm cực đại của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right)\) là

PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP

Câu hỏi: Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right).\) Đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Số điểm cực đại của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right)\) là

A. \(1.\)

B. \(2.\)

C. \(3.\)

D. \(4.\)

Lời giải

Chọn A

Cách 1: Phương pháp truyền thống

Ta có \(g’\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 2} }}f’\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right).\)

Suy ra \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 = 0}\\{f’\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right) = 0}\end{array}} \right.\mathop  \leftrightarrow \limits^{\quad {\rm{theo\;do\;thi\;}}f{\rm{‘}}\left( x \right)\quad } \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 = 0}\\{\sqrt {{x^2} + 2x + 2}  =  – 1}\\{\sqrt {{x^2} + 2x + 2}  = 1}\\{\sqrt {{x^2} + 2x + 2}  = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  – 1}\\{x =  – 1 + 2\sqrt 2 }\\{x =  – 1 – 2\sqrt 2 }\end{array}} \right..\)

Bảng xét dấu:

Từ đó suy ra hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right)\) có \(1\) điểm cực đại.

Chú ý: Cách xét dấu \( – \) hay \( + \) của \(g’\left( x \right)\) để cho nhanh nhất ta lấy một giá trị \({x_0}\) thuộc khoảng đang xét rồi thay vào \(g’\left( x \right).\) Chẳng hạn với khoảng \(\left( { – 1; – 1 + 2\sqrt 2 } \right)\) ta chọn \({x_0} = 0\mathop  \to \limits^{\quad \quad } g’\left( 0 \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}f’\left( {\sqrt 2 } \right) < 0\) vì dựa vào đồ thị ta thấy \(f’\left( {\sqrt 2 } \right) < 0.\)

Cách 2: Phương pháp ghép trục

Đặt \(u\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 2x + 2}  = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1}  \ge 1 \Rightarrow u’\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 2} }};\,\,u’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  – 1\).

Xét \(\left[ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 2x + 2}  =  – 1\left( {vn} \right)\\\sqrt {{x^2} + 2x + 2}  = 1\\\sqrt {{x^2} + 2x + 2}  = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  – 1}\\{x =  – 1 + 2\sqrt 2 }\\{x =  – 1 – 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\).

Bảng biến thiên của hàm số \(f\left( u \right) = f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right)\)(Dựa vào đồ thị của hàm số \(f’\left( u \right)\)).

Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số \(f\left( u \right) = f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right)\) có một điểm cực đại.

=======