PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP
Câu hỏi: Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right).\) Đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Số điểm cực đại của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right)\) làA. \(1.\)
B. \(2.\)
C. \(3.\)
D. \(4.\)
Lời giải
Chọn A
Cách 1: Phương pháp truyền thống
Ta có \(g’\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 2} }}f’\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right).\)
Suy ra \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 = 0}\\{f’\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right) = 0}\end{array}} \right.\mathop \leftrightarrow \limits^{\quad {\rm{theo\;do\;thi\;}}f{\rm{‘}}\left( x \right)\quad } \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 = 0}\\{\sqrt {{x^2} + 2x + 2} = – 1}\\{\sqrt {{x^2} + 2x + 2} = 1}\\{\sqrt {{x^2} + 2x + 2} = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 1}\\{x = – 1 + 2\sqrt 2 }\\{x = – 1 – 2\sqrt 2 }\end{array}} \right..\)
Bảng xét dấu:
Từ đó suy ra hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right)\) có \(1\) điểm cực đại.
Chú ý: Cách xét dấu \( – \) hay \( + \) của \(g’\left( x \right)\) để cho nhanh nhất ta lấy một giá trị \({x_0}\) thuộc khoảng đang xét rồi thay vào \(g’\left( x \right).\) Chẳng hạn với khoảng \(\left( { – 1; – 1 + 2\sqrt 2 } \right)\) ta chọn \({x_0} = 0\mathop \to \limits^{\quad \quad } g’\left( 0 \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}f’\left( {\sqrt 2 } \right) < 0\) vì dựa vào đồ thị ta thấy \(f’\left( {\sqrt 2 } \right) < 0.\)
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Đặt \(u\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 2x + 2} = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1} \ge 1 \Rightarrow u’\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 2} }};\,\,u’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = – 1\).
Xét \(\left[ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 2x + 2} = – 1\left( {vn} \right)\\\sqrt {{x^2} + 2x + 2} = 1\\\sqrt {{x^2} + 2x + 2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 1}\\{x = – 1 + 2\sqrt 2 }\\{x = – 1 – 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\).
Bảng biến thiên của hàm số \(f\left( u \right) = f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right)\)(Dựa vào đồ thị của hàm số \(f’\left( u \right)\)).
Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số \(f\left( u \right) = f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right)\) có một điểm cực đại.
=======
Trả lời