Cho hai số phức \(u,v\) thỏa mãn \(3\left| {u – 6i} \right| + 3\left| {u – 1 – 3i} \right| = 5\sqrt {10} ,\left| {v – 1 + 2i} \right| = \left| {\overline v  + i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {u – v} \right|\) là

Câu hỏi: Cho hai số phức \(u,v\) thỏa mãn \(3\left| {u – 6i} \right| + 3\left| {u – 1 – 3i} \right| = 5\sqrt {10} ,\left| {v – 1 + 2i} \right| = \left| {\overline v  + i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {u – v} \right|\) là A. \(\frac{{2\sqrt {10} }}{3}\).  B. \(\frac{{\sqrt {10} }}{3}\).  C. \(\sqrt {10} \).  D. \(\frac{{5\sqrt {10} }}{3}\). LỜI GIẢI CHI TIẾT + Gọi M là điểm biểu diễn số phức \(u\) \( \Rightarrow MA + MB = \frac{{5\sqrt {10} }}{3} > AB\) trong đó \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( {0;6} \right)\\B\left( {1;3} \right)\end{array} \right.\). Suy ra \(M\) thuộc Elip có: \(A,B\) là các tiêu điểm, độ dài trục lớn \(2a = \frac{{5\sqrt {10} }}{3} \to a = \frac{{5\sqrt {10} }}{6}\) Phương trình đường thẳng AB: \(3x + y = 6\) + Goị \(N\) là điểm biểu diễn số phức \(v\): \(\begin{array}{l}\left| {v – 1 + 2i} \right| = \left| {\overline v  + i} \right| \Leftrightarrow \left| {\left( {x – 1} \right) + \left( {y + 2} \right)i} \right| = \left| {x + \left( {1 – y} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = {x^2} + {\left( {1 – y} \right)^2} \Leftrightarrow x – 3y = 2\end{array}\)

\(\left| {u – v} \right| \Rightarrow MN\). Bài toán trở thành tìm M thuộc elip, N thuộc đường thăng \(x – 3y = 2\) để \(MN\) nhỏ nhất. Để \(MN\) nhỏ nhất thì \(M,N\) có vị trí như hình vẽ. Ta có: \(MA + MB = \frac{{5\sqrt {10} }}{3},MA – MB = AB = \sqrt {10}  \Rightarrow MA = \frac{{4\sqrt {10} }}{3}\) \(A\left( {0;6} \right),N\left( {2;0} \right) \Rightarrow NA = 2\sqrt {10} \) Suy ra: \(MN = NA – MA = 2\sqrt {10}  – \frac{{4\sqrt {10} }}{3} = \frac{{2\sqrt {10} }}{3}\). Chọn đáp án D ======= Lý thuyết KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb\) và \(i^2=-1\)). Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\) Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ. Độ dài của vectơ OM  là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow = \sqrt + } .\) Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a – bi.\)

Một số tính chất cần lưu ý của số phức

Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb\subset \mathbb.\) Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0). Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo. Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb)\) gọi là dạng đại số của số phức. Ta có: ​\(\left| \right| = \left| z \right|\). \(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực. \(z = – \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.