Cho \(F\left( x \right)\)là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {x\left( {x + 3} \right)} }}\)trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = \ln 3\). Giá trị của \({e^{F\left( {2021} \right)}} – {e^{F\left( {2020} \right)}}\) thuộc khoảng nào?

Cho \(F\left( x \right)\)là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {x\left( {x + 3} \right)} }}\)trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = \ln 3\). Giá trị của \({e^{F\left( {2021} \right)}} – {e^{F\left( {2020} \right)}}\) thuộc khoảng nào?
A. \(\left( {\frac{1}{{10}};\frac{1}{5}} \right)\).

B. \(\left( {0;\frac{1}{{10}}} \right)\).

C. \(\left( {\frac{1}{5};\frac{1}{3}} \right)\).

D. \(\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{2}} \right)\).
Lời giải

Đặt \(t = x + \frac{3}{2} + \sqrt {x\left( {x + 3} \right)} \Rightarrow dt = \left( {1 + \frac{{2x + 3}}{{2\sqrt {x\left( {x + 3} \right)} }}} \right)dx \Rightarrow \frac{{dt}}{t} = \frac{{dx}}{{\sqrt {x\left( {x + 3} \right)} }}\)
\(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x\left( {x + 3} \right)} }}} = \int {\frac{{dt}}{t}} = \ln \left| t \right| + C = \ln \left| {x + \frac{3}{2} + \sqrt {x\left( {x + 3} \right)} } \right| + C\)
\(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {x + \frac{3}{2} + \sqrt {x\left( {x + 3} \right)} } \right| + C’\)
Có \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\ln \frac{9}{2} + C’ = ln3 \Rightarrow C’ = \frac{{\ln 2}}{2}\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {\ln \left| {x + \frac{3}{2} + \sqrt {x\left( {x + 3} \right)} } \right| + \ln 2} \right)\)
\( \Rightarrow {e^{F\left( x \right)}} = \sqrt {2x + 3 + 2\sqrt {x\left( {x + 3} \right)} } \)\( \Rightarrow {e^{F\left( {2021} \right)}} – {e^{F\left( {2020} \right)}} \in \left( {\frac{1}{{10}};\frac{1}{5}} \right)\).