Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = \sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .\frac{{\ln x}}{x}\) mà \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{3}\). Giá trị \({F^2}\left( e \right)\) bằng

Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = \sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .\frac{{\ln x}}{x}\) mà \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{3}\). Giá trị \({F^2}\left( e \right)\) bằng

A. \(\frac{1}{3}\).

B. \(\frac{1}{9}\).

C. \(\frac{8}{3}\).

D. \(\frac{8}{9}\).

Lời giải:

Đặt \(I = \int {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .\frac{{\ln x}}{x}} dx\)

\(t = \sqrt {{{\ln }^2}x + 1} \Rightarrow {t^2} = {\ln ^2}x + 1 \Rightarrow tdt = \ln x.\frac{1}{x}dx = \frac{{\ln x}}{x}dx\)

\(I = \int {{t^2}} dt = \frac{{{t^3}}}{3} + C = \frac{{{{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } \right)}^3}}}{3} + C\)

\(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = \sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .\frac{{\ln x}}{x}\) nên \(F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } \right)}^3}}}{3} + C\)

Theo giả thiết

\(F\left( 1 \right) = \frac{1}{3} \Rightarrow C = 0 \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } \right)}^3}}}{3}\)

\({F^2}\left( e \right) = \frac{8}{9}\)

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.