Cho hàm số y =f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ ,\(f(0)=0 \text { và } f(x)+f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x \cdot \cos x \text { với } \forall x \in \mathbb{R}\) . Giá trị của tích phân \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x f^{\prime}(x) d x\) bằng ?
A. \(\frac{\pi}{4}\)
B. \(-\frac{\pi}{4}\)
C. \(\frac{-1}{4}\)
D. \(\frac{1}{4}\)
==========
\(\begin{aligned}
&\text { Từ } f(x)+f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x \cdot \cos x \Rightarrow \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x)+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f\left(\frac{\pi}{2}-x\right) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cdot \cos x d x=\frac{1}{2}\\
&\text { Đặt } u=\frac{\pi}{2}-x \Rightarrow d u=-d x\\
&\text { Với } x=0 \Rightarrow u=\frac{\pi}{2} ; x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow u=0\\
&\text { Suy ra } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f\left(\frac{\pi}{2}-x\right) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(u) d u=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x, \text { thay vào }\left(^{*}\right) \text { ta được }\\
&2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x=\frac{1}{4}
\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}
&\text { Đặt }\left\{\begin{array}{l}
u=x \\
d v=f^{\prime}(x) d x
\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
d u=d x \\
v=f(x)
\end{array}\right.\right.\\
&\Rightarrow \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x f^{\prime}(x) d x=\left.x f(x)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x=\frac{\pi}{2} f\left(\frac{\pi}{2}\right)-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x\left(^{*}\right)\\
&\text { Từ điều kiện } f(x)+f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x \cdot \cos x \text { suy ra }\\
&\left\{\begin{array}{l}
f\left(\frac{\pi}{2}\right)-f(0)=0 \\
f(0)+f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0
\end{array} \Rightarrow f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\right.\\
&\text { Thay }(1),(2) \text { vào }\left(^{*}\right), \text { ta được } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x f^{\prime}(x) d x=-\frac{1}{4}
\end{aligned}\)
Trả lời