Biết \(f\left( x \right) = \int {{x^3}{e^{{x^2} + 1}}dx} \) và \(f\left( 0 \right) = – \frac{1}{2}e\). Khi đó \(f\left( 1 \right)\) bằng

Biết \(f\left( x \right) = \int {{x^3}{e^{{x^2} + 1}}dx} \) và \(f\left( 0 \right) = – \frac{1}{2}e\). Khi đó \(f\left( 1 \right)\) bằng

A. \( – \frac{1}{2}{e^2}\).

B. \(\frac{1}{2}e\).

C. \(0\).

D. \(\frac{1}{2}{e^2}\).

Lời giải:

Đặt \(t = {x^2} + 1 \Rightarrow dt = 2xdx \Rightarrow xdx = \frac{1}{2}dt\).

Lại có \(t = {x^2} + 1 \Rightarrow {x^2} = t – 1\)

Ta xét \(M = \int {{x^3}{e^{{x^2} + 1}}dx} = \int {{x^2}x{e^{{x^2} + 1}}dx} \Rightarrow M = \frac{1}{2}\int {\left( {t – 1} \right){e^t}dt} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = t – 1\\dv = {e^t}dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = {e^t}\end{array} \right. \Rightarrow M = \frac{1}{2}\left( {t – 1} \right){e^t} – \frac{1}{2}\int {{e^t}dt = } \frac{1}{2}\left( {t – 1} \right){e^t} – \frac{1}{2}{e^t} + C = \frac{1}{2}\left( {t – 2} \right){e^t} + C\).

Suy ra \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {{x^2} – 1} \right){e^{{x^2} + 1}} + C\).

Vì \(f\left( 0 \right) = – \frac{1}{2}e\)\( \Rightarrow – \frac{1}{2}e = – \frac{1}{2}e + C \Rightarrow C = 0\)

Suy ra \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {{x^2} – 1} \right){e^{{x^2} + 1}}\). Suy ra \(f\left( 1 \right) = 0\).

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.