Họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x\left( {1 + {e^x}} \right)\)là
A. \({x^2} + \left( {x – 1} \right){e^x} + C\).
B. \(\frac{{{x^2}}}{2} + x{e^x} + C\).
C. \(\frac{{{x^2}}}{2} + \left( {1 – x} \right){e^x} + C\).
D. \(\frac{{{x^2}}}{2} + \left( {x – 1} \right){e^x} + C\).
Lời giải:
Ta có \(\int {x\left( {1 + {e^x}} \right){\rm{d}}} x = \int {\left( {x + x{e^x}} \right){\rm{d}}} x = \frac{{{x^2}}}{2} + \int {x{e^x}{\rm{d}}} x\).
Xét \(\int {x{e^x}{\rm{d}}} x\), đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{{\rm{d}}v = {e^x}{\rm{d}}x}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{d}}u = dx}\\{v = {e^x}}\end{array}} \right.\). Suy ra \(\int {x{e^x}{\rm{d}}} x = x{e^x} – \int {{e^x}{\rm{d}}} x = x{e^x} – {e^x} + C\).
Vậy \(\int {x\left( {1 + {e^x}} \right){\rm{d}}} x = \frac{{{x^2}}}{2} + x{e^x} – {e^x} + C = \frac{{{x^2}}}{2} + (x – 1){e^x} + C\).
===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.
Trả lời