Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\). Giá trị của biểu thức \(S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + … + F\left( {2023} \right)\) bằng

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\). Giá trị của biểu thức \(S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + … + F\left( {2023} \right)\) bằng

A. \(2022\frac{1}{{2024}}\).

B. \(\frac{{2022.2023}}{{2024}}\).

C. \(\frac{{2023}}{{2024}}\).

D. \(\frac{{2022}}{{2023}}\).

Lời giải:

\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = \int {\frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}}\,dx} = \int {\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}dx} } = – \frac{1}{{{x^2} + x}} + C\)

Ta có \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow – \frac{1}{2} + C = \frac{1}{2} \Leftrightarrow C = 1\), khi đó \(F\left( x \right) = – \frac{1}{{{x^2} + x}} + 1 = 1 – \left( {\frac{1}{x} – \frac{1}{{x + 1}}} \right)\)

\(S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + … + F\left( {2023} \right)\)

\(S = 1 – \left( {1 – \frac{1}{2}} \right) + 1 – \left( {\frac{1}{2} – \frac{1}{3}} \right) + 1 – \left( {\frac{1}{3} – \frac{1}{4}} \right) + … + 1 – \left( {\frac{1}{{2023}} – \frac{1}{{2024}}} \right)\)

\(S = 2023 – 1 + \frac{1}{{2024}} = 2022\frac{1}{{2024}}\)

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.