Cho điểm \(A\left( {0;8;2} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \((S):{\left( {x – 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z – 7} \right)^2} = 72\) và điểm \(B\left( {9; – 7;23} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(A\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) sao cho khoảng cách từ \(B\) đến \(\left( P \right)\) là lớn nhất. Giả sử \(\vec n = \left( {1;m;n} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\). Lúc đó

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

Cho điểm \(A\left( {0;8;2} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \((S):{\left( {x – 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z – 7} \right)^2} = 72\) và điểm \(B\left( {9; – 7;23} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(A\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) sao cho khoảng cách từ \(B\) đến \(\left( P \right)\) là lớn nhất. Giả sử \(\vec n = \left( {1;m;n} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\). Lúc đó
A.\(m.n = 4\).
B. \(m.n = – 4\).
C. \(m.n = 2\).
D. \(m.n = – 2\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT:
Mặt cầu \((S):{\left( {x – 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z – 7} \right)^2} = 72\) có tâm \(I\left( {5\,;\, – 3;7} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {72} = 6\sqrt 2 \).
Mặt phẳng \((P)\) qua \(A\)có dạng \(a\left( {x – 0} \right) + b\left( {y – 8} \right) + c\left( {z – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by + cz – 8b – 2c = 0\).
\((P)\) tiếp xúc với \((S)\)
\( \Leftrightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = 6\sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{{\left| {5a – 3b + 7c – 8b – 2c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 6\sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{{\left| {5a – 11b + 5c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 6\sqrt 2 \). (*)
Mà \(d\left( {B;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {9a – 7b + 23c – 8b – 2c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| {9a – 15b + 21c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
\( = \frac{{\left| {5a – 11b + 5c + 4(a – b + 4c)} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} \le \)
\( \le \frac{{\left| {5a – 11b + 5c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} + 4\frac{{\left| {a – b + 4c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} \le 6\sqrt 2 + 4\frac{{\sqrt {{1^2} + {{( – 1)}^2} + {4^2}} .\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 18\sqrt 2 \).
Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{a}{1} = \frac{b}{{ – 1}} = \frac{c}{4}\). Chọn \(a = 1;b = – 1;c = 4\) thỏa mãn (*).
Khi đó \((P):x – y + 4z = 0\). Suy ra \(m = – 1;n = 4\). Suy ra: \(m.n = – 4\).
========

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)