DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============
Cho \(A\left( {0;\,8;\,2} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x – 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z – 7} \right)^2} = 72\) và điểm \(B\left( {9;\, – 7;\,23} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua A và tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là lớn nhất. Giải sử \(\overrightarrow n = \left( {1;\,m;\,n} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\). Lúc đó
A.\(m.n = 4\).
B. \(m.n = 2\).
C. \(m.n = – 4\).
D. \(m.n = – 2\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Cách 1: \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {0;\,8;\,2} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;\,m;\,n} \right)\)\( \Rightarrow \,\left( P \right):\,x + my + nz – 8m – 2n = 0\).
\(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\)\( \Rightarrow \frac{{\left| {5 – 11m + 5n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 6\sqrt 2 \).
\(d = \,\,d\left( {B;\,\left( P \right)} \right)\,\, = \,\,\frac{{\left| {9 – 15m + 21n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }}\,\, = \,\,\frac{{\left| {5 – 11m + 5n + 4 – 4m + 16n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }}\)\(\,\, \le \,\,\frac{{\left| {5 – 11m + 5n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} + 4\frac{{\left| {1 – m + 4n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }}\)\(\,\, \le \,\,6\sqrt 2 + 4\frac{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {4^2}} .\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }}\)\( = 18\sqrt 2 \)(Buinhiacôpxki).
\( \Rightarrow {d_{{\rm{max}}}} = 18\sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{1}{1} = \frac{{ – 1}}{m} = \frac{4}{n}\,\,\,\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = – 1\\n = 4\end{array} \right.\,\,\,\, \Rightarrow m.n = – 4\)
Cách 2:Ta có \(IB,IA > R \Rightarrow \) \(A,B\) nằm ngoài mc \(\left( S \right)\)
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(B\) xuống \(\left( P \right)\)), mp \(\left( P \right)\)tiếp xúc với mặt cầu (S) tại \(E\).
Đường thẳng BI cắt (S) tại \(C,D\) và \(BC < BD\).
Ta có \(d = d\left( {B,\left( P \right)} \right) = BH \le BE \le BD = 18\sqrt 2 \)
Để khoảng cách từ B đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là lớn nhấtthì \(H \equiv E \equiv D\)
Khi đó đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow {BI} = \left( {4;\, - 4;\,16} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.\( \Rightarrow \overrightarrow {BI} = k\vec n \Rightarrow m = - 1;n = 4 \Rightarrow m.n = - 4.\)
========
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)
Trả lời