Sách Toán - Học Toán - Đề Thi Toán

Học toán, Đề thi toán, Sách giáo khoa Toán, trắc nghiệm Toán online

Số điểm cực trị của hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 1$ là:

by Để lại bình luận

📌 Đề bài (Câu 2 – Nhận biết (NB) – Trắc nghiệm 4 lựa chọn (MCQ – 1 đáp án đúng)):

Số điểm cực trị của hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 1$ là:

A. 2
B. 1
C. 0
D. 3
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)

Bước 1: Tìm tập xác định

Hàm số đã cho là hàm đa thức bậc ba, có tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Bước 2: Tính đạo hàm $y’$ và tìm nghiệm của phương trình $y’ = 0$

Ta có đạo hàm: $$y’ = (x^3 – 3x^2 + 1)’ = 3x^2 – 6x$$

Giải phương trình $y’ = 0$:

$$3x^2 – 6x = 0 \iff 3x(x – 2) = 0 \iff \left[\begin{aligned} &x = 0 \\ &x = 2 \end{aligned}\right.$$

Bước 3: Xét dấu của đạo hàm

Đạo hàm $y’$ là một tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt $x_1 = 0$ và $x_2 = 2$.

Dấu của $y’$ tuân theo quy tắc “trong trái, ngoài cùng”:

  • $y’ > 0$ khi $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$
  • $y’ < 0$ khi $x \in (0; 2)$

Do đó, đạo hàm $y’$ đổi dấu khi đi qua hai nghiệm đơn $x = 0$ (từ dương sang âm: điểm cực đại) và $x = 2$ (từ âm sang dương: điểm cực tiểu). Bạn cũng có thể xem thêm dạng bài tìm điểm cực trị dựa vào bảng biến thiên để nắm rõ cách xét dấu.

Kết luận: Hàm số có $2$ điểm cực trị.

👉 Chọn đáp án: A

📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ

1. Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị:

Giả sử hàm số $y = f(x)$ liên tục trên khoảng $(a; b)$ chứa điểm $x_0$ và có đạo hàm trên các khoảng $(a; x_0)$ và $(x_0; b)$. Nếu $f'(x)$ đổi dấu khi $x$ đi qua điểm $x_0$ thì $x_0$ là một điểm cực trị của hàm số.

2. Quy tắc đếm nhanh số điểm cực trị của hàm bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \neq 0$):

  • Tính $y’ = 3ax^2 + 2bx + c$ với $\Delta’ = b^2 – 3ac$.
  • Nếu $\Delta’ > 0$: Phương trình $y’ = 0$ có $2$ nghiệm phân biệt $\implies$ Hàm số có đúng $2$ điểm cực trị (gồm 1 cực đại và 1 cực tiểu). Tham khảo thêm cách xét tính đơn điệu của hàm bậc ba.
  • Nếu $\Delta’ \le 0$: Phương trình $y’ = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $\implies$ Đạo hàm không đổi dấu, hàm số không có cực trị (0 điểm cực trị).
  • Lưu ý: Hàm số bậc ba chỉ có thể có $2$ điểm cực trị hoặc $0$ điểm cực trị, không bao giờ có $1$ hay $3$ điểm cực trị.

✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án)

Bài tập 1: Số điểm cực trị của hàm số $y = -x^3 + 3x – 2$ là:

A. 2
B. 1
C. 0
D. 3
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có $y’ = -3x^2 + 3 = 0 \iff x^2 = 1 \iff x = \pm 1$. Phương trình $y’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt và $y’$ đổi dấu qua hai nghiệm này nên hàm số có $2$ điểm cực trị.
👉 Đáp án: A

Bài tập 2: Số điểm cực trị của hàm số $y = x^3 + 3x^2 + 3x + 5$ là:

A. 2
B. 1
C. 0
D. 3
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Ta có $y’ = 3x^2 + 6x + 3 = 3(x + 1)^2 \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Đạo hàm $y’ = 0$ chỉ có nghiệm kép $x = -1$ và không đổi dấu qua điểm này nên hàm số không có cực trị (0 điểm cực trị). Bạn có thể xem thêm phương pháp khảo sát hàm số bậc ba $y = f(x)$.
👉 Đáp án: C

Bài tập 3: Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – 2x^2 + 4x – 1$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Ta có $y’ = x^2 – 4x + 4 = (x – 2)^2 \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Vì phương trình $y’ = 0$ có nghiệm kép $x = 2$ nên $y’$ không đổi dấu khi qua $x = 2$. Do đó hàm số không có điểm cực trị nào.
👉 Đáp án: A

Bài tập 4: Hàm số $y = 2x^3 – 6x + 1$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Ta có $y’ = 6x^2 – 6 = 0 \iff x = 1$ hoặc $x = -1$. Phương trình $y’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt nên hàm số có $2$ điểm cực trị.
👉 Đáp án: B

Bài tập 5: Hàm số $y = -x^3 – 3x + 4$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2
B. 1
C. 0
D. 3
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Ta có $y’ = -3x^2 – 3 = -3(x^2 + 1) < 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Vì $y’ < 0$ với mọi $x$ nên hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$ và không có điểm cực trị.
👉 Đáp án: C

Reader Interactions

Để lại phản hồi