📌 Đề bài (Câu 5 – Nhận biết (NB) – Trắc nghiệm 4 lựa chọn (MCQ – 1 đáp án đúng)):
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$?
A. $y = -x^3 – 2x + 1$
B. $y = -x^4 – x^2$
C. $y = \frac{x – 2}{x + 1}$
D. $y = -x^3 + 3x$
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Bước 1: Loại trừ nhanh dựa trên tập xác định và dạng hàm
- Hàm số phân thức $y = \frac{x – 2}{x + 1}$ có tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$, do đó không thể nghịch biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$ $\Rightarrow$ Loại C.
- Hàm số trùng phương $y = -x^4 – x^2$ có đạo hàm $y’ = -4x^3 – 2x = -2x(2x^2 + 1)$ đổi dấu qua điểm $x = 0$, nên có cả khoảng đồng biến và nghịch biến $\Rightarrow$ Loại B.
Bước 2: Xét tính đơn điệu của hai hàm số bậc ba
- Xét phương án A: $y = -x^3 – 2x + 1$
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = -3x^2 – 2$.
Vì $-3x^2 \le 0, \forall x \in \mathbb{R}$ nên $y’ = -3x^2 – 2 < 0, \forall x \in \mathbb{R}$.
Suy ra hàm số luôn luôn nghịch biến trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$. - Xét phương án D: $y = -x^3 + 3x$
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = -3x^2 + 3 = -3(x^2 – 1)$.
Phương trình $y’ = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(-1; 1)$ và nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$, $(1; +\infty)$ $\Rightarrow$ Loại D.
👉 Chọn đáp án: A
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và có đạo hàm trên tập số thực $\mathbb{R}$:
- Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow f'(x) \le 0, \forall x \in \mathbb{R}$ và dấu “=” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm.
- Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow f'(x) \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$ và dấu “=” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm (xem thêm dạng xác định khoảng đồng biến của hàm bậc ba).
- Mẹo nhận biết nhanh trắc nghiệm:
- Hàm phân thức hữu tỉ $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ luôn gián đoạn tại $x = -\frac{d}{c}$ nên không bao giờ đơn điệu trên toàn bộ $\mathbb{R}$.
- Hàm số đa thức bậc chẵn (bậc hai, trùng phương) luôn có ít nhất một điểm cực trị nên không bao giờ đơn điệu trên $\mathbb{R}$.
- Hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ nghịch biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} a < 0 \\ \Delta_{y'} \le 0 \end{cases}$.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án)
Bài tập 1: Hàm số nào sau đây đồng biến trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$?
A. $y = x^3 + 3x – 5$
B. $y = x^4 + 2x^2$
C. $y = \frac{2x + 1}{x – 1}$
D. $y = x^3 – 3x$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Xét hàm số $y = x^3 + 3x – 5$ có tập xác định $D = \mathbb{R}$. Đạo hàm $y’ = 3x^2 + 3 > 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Do đó hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Đáp án: A
Đáp án: A
Bài tập 2: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên toàn bộ tập xác định của nó và đồng thời có tập xác định là $\mathbb{R}$?
A. $y = -x^3 + 3x^2 – 3x + 2$
B. $y = \frac{-x + 2}{x + 3}$
C. $y = -2x^4 – 1$
D. $y = -x^3 + 3x^2 – 4x + 1$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Xét phương án A: $y’ = -3x^2 + 6x – 3 = -3(x – 1)^2 \le 0, \forall x \in \mathbb{R}$ và $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$. Do đó hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Xét phương án D: $y’ = -3x^2 + 6x – 4 = -3(x – 1)^2 – 1 < 0, \forall x \in \mathbb{R}$ cũng nghịch biến trên $\mathbb{R}$. (Ở câu hỏi kiểm tra tính chất lũy thừa và hằng đẳng thức $-(x-1)^2$, phương án A là dạng chuẩn có nghiệm kép).
Đáp án: A (hoặc D)
Xét phương án D: $y’ = -3x^2 + 6x – 4 = -3(x – 1)^2 – 1 < 0, \forall x \in \mathbb{R}$ cũng nghịch biến trên $\mathbb{R}$. (Ở câu hỏi kiểm tra tính chất lũy thừa và hằng đẳng thức $-(x-1)^2$, phương án A là dạng chuẩn có nghiệm kép).
Đáp án: A (hoặc D)
Bài tập 3: Cho hàm số $y = -\frac{1}{3}x^3 + mx^2 – 4x + 1$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
A. $-2 \le m \le 2$
B. $m < -2$ hoặc $m > 2$
C. $-2 < m < 2$
D. $m \le -2$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Ta có: $y’ = -x^2 + 2mx – 4$.
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow y’ \le 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta’ = m^2 – (-1)(-4) \le 0 \Leftrightarrow m^2 – 4 \le 0 \Leftrightarrow -2 \le m \le 2$.
Đáp án: A
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow y’ \le 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta’ = m^2 – (-1)(-4) \le 0 \Leftrightarrow m^2 – 4 \le 0 \Leftrightarrow -2 \le m \le 2$.
Đáp án: A
Bài tập 4: Trong các hàm số sau, hàm số nào không bao giờ đơn điệu trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$?
A. $y = ax^4 + bx^2 + c$ ($a \ne 0$)
B. $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \ne 0$)
C. $y = ax + b$ ($a \ne 0$)
D. $y = x^5 + 2x$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Hàm trùng phương $y = ax^4 + bx^2 + c$ ($a \ne 0$) có đạo hàm $y’ = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b)$, luôn có nghiệm $x = 0$ và đổi dấu qua $x = 0$, do đó luôn có ít nhất một cực trị và không thể đơn điệu trên toàn bộ $\mathbb{R}$.
Đáp án: A
Đáp án: A
Bài tập 5: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = -(x – 2)^2(x^2 + 1)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$
B. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
C. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$
D. Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Ta có: $(x – 2)^2 \ge 0, \forall x$ và $x^2 + 1 > 0, \forall x \in \mathbb{R}$.
Do đó $f'(x) = -(x – 2)^2(x^2 + 1) \le 0, \forall x \in \mathbb{R}$, và $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ (nghiệm bội chẵn, dấu không đổi).
Vì vậy, hàm số nghịch biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$.
Đáp án: A
Do đó $f'(x) = -(x – 2)^2(x^2 + 1) \le 0, \forall x \in \mathbb{R}$, và $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ (nghiệm bội chẵn, dấu không đổi).
Vì vậy, hàm số nghịch biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$.
Đáp án: A
Để lại phản hồi