📌 Đề bài (Câu 3 – Nhận biết (NB) – Trắc nghiệm 4 lựa chọn (MCQ – 1 đáp án đúng)):
Hàm số $y = -x^4 + 2x^2 + 1$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Bước 1: Tập xác định
Hàm số đã cho là hàm đa thức trùng phương nên có tập xác định: $\mathcal{D} = \mathbb{R}$.
Bước 2: Tính đạo hàm $y’$ và tìm nghiệm
Ta có: $y’ = (-x^4 + 2x^2 + 1)’ = -4x^3 + 4x$.
Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow -4x(x^2 – 1) = 0 \Leftrightarrow -4x(x – 1)(x + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = -1 \\ x = 0 \\ x = 1 \end{array}\right.$
Bước 3: Lập bảng xét dấu đạo hàm
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y’$ | + | 0 | – | 0 | + | 0 | – |
Bước 4: Kết luận
Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, ta thấy:
- $y’ > 0$ trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(0; 1) \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(0; 1)$.
- $y’ < 0$ trên các khoảng $(-1; 0)$ và $(1; +\infty) \Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$.
Đối chiếu với 4 phương án trắc nghiệm, khoảng $(1; +\infty)$ là một khoảng nghịch biến của hàm số.
👉 Chọn đáp án: C
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ
Để tìm các khoảng đơn điệu của hàm số trùng phương $y = ax^4 + bx^2 + c$ ($a \neq 0$), ta thực hiện theo quy trình chuẩn:
- Tập xác định: $\mathcal{D} = \mathbb{R}$.
- Tính đạo hàm: $y’ = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b)$.
- Giải phương trình $y’ = 0$: Tìm các nghiệm phân biệt của đạo hàm.
- Xét dấu $y’$:
- Quy tắc đan dấu: Khoảng ngoài cùng bên phải luôn cùng dấu với hệ số $a$ (hệ số cao nhất của $y’$ là $4a$).
- Khoảng nào $y’ > 0$ thì hàm số đồng biến (tương tự dạng hàm số bậc 3 đồng biến).
- Khoảng nào $y’ < 0$ thì hàm số nghịch biến.
Lưu ý: Cần phân biệt rõ giữa hàm đa thức và tính đơn điệu của hàm phân thức vì hàm phân thức bị gián đoạn tại điểm làm mẫu số bằng 0.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án)
Bài tập 1: Hàm số $y = x^4 – 2x^2 + 3$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Xét dấu: $y’ > 0 \Leftrightarrow x \in (-1; 0) \cup (1; +\infty)$.
Do đó hàm số đồng biến trên $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$.
👉 Đáp án: B
Bài tập 2: Cho hàm số $y = -x^4 + 4x^2 – 2$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Khoảng ngoài cùng $(\sqrt{2}; +\infty)$ mang dấu âm ($y’ < 0$) nên hàm số nghịch biến trên $(\sqrt{2}; +\infty)$.
👉 Đáp án: C
Bài tập 3: Hàm số $y = x^4 – 8x^2 + 1$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Dấu của $y’$: âm trên $(-\infty; -2)$, dương trên $(-2; 0)$, âm trên $(0; 2)$, dương trên $(2; +\infty)$.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$ và $(-\infty; -2)$.
👉 Đáp án: A
Bài tập 4: Cho hàm số $y = -\frac{1}{4}x^4 + 2x^2 + 5$. Khoảng đồng biến của hàm số là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
$y’ > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; -2) \cup (0; 2)$.
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -2)$ và $(0; 2)$.
👉 Đáp án: B
Bài tập 5: Hàm số $y = x^4 + 2x^2 – 3$ nghịch biến trên khoảng nào?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Do $x^2 + 1 > 0$ với mọi $x$, nên $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$.
$y’ < 0 \Leftrightarrow x < 0$. Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 0)$.
👉 Đáp án: A
Để lại phản hồi