Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = \frac{-x^2+4}{(x+1)^2}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

Câu hỏi mẫu

Phân tích câu hỏi mẫu

Phân tích câu hỏi mẫu:

Câu hỏi mẫu thuộc dạng bài khảo sát sự đơn điệu của hàm số. Kiến thức liên quan là đạo hàm, bảng biến thiên và điều kiện để hàm số đồng biến/nghịch biến ($f'(x) > 0$ cho đồng biến, $f'(x) < 0$ cho nghịch biến). Mức độ câu hỏi là trung bình. Phương pháp giải là tìm đạo hàm, lập bảng xét dấu đạo hàm và kết luận khoảng nghịch biến dựa trên dấu của đạo hàm.

Các câu hỏi tương tự

Câu 1: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = \frac{-x^2+4}{(x+1)^2}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
A. $(-2; 2)$
B. $(- \infty; -2)$
C. $(2; +\infty)$
D. $(- \infty; -2)$ và $(2; +\infty)$

Lời giải
Ta có $f'(x) = \frac{-x^2+4}{(x+1)^2}$.
$$\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty && -2 && -1 && 2 && +\infty \\
\hline y’ && + & 0 & – & || & – & 0 & + \\
\end{array}$$
Dấu của $f'(x)$ phụ thuộc vào dấu của tử số $-x^2+4$. Để hàm số nghịch biến, ta cần $f'(x) < 0$, tức là $-x^2+4 < 0 \Leftrightarrow x^2-4 > 0$. Điều này xảy ra khi $x < -2$ hoặc $x > 2$. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -2)$ và $(2; +\infty)$.
*D.

Câu 2: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = \frac{x^2-9}{(x-2)^2}$. Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
A. $(-3; 3)$
B. $(- \infty; -3)$
C. $(3; +\infty)$
D. $(- \infty; -3)$ và $(3; +\infty)$

Lời giải
Ta có $f'(x) = \frac{x^2-9}{(x-2)^2}$.
$$\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty && -3 && 2 && 3 && +\infty \\
\hline y’ && + & 0 & – & || & – & 0 & + \\
\end{array}$$
Để hàm số đồng biến, ta cần $f'(x) > 0$, tức là $x^2-9 > 0 \Leftrightarrow (x-3)(x+3) > 0$. Điều này xảy ra khi $x < -3$ hoặc $x > 3$. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -3)$ và $(3; +\infty)$.
*D.

Câu 3: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = \frac{-x^2+1}{(x-3)^2}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
A. $(-1; 1)$
B. $(- \infty; -1)$
C. $(1; +\infty)$
D. $(- \infty; -1)$ và $(1; +\infty)$

Lời giải
Ta có $f'(x) = \frac{-x^2+1}{(x-3)^2}$.
$$\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty && -1 && 3 && 1 && +\infty \\
\hline y’ && – & 0 & + & || & + & 0 & – \\
\end{array}$$
Để hàm số nghịch biến, ta cần $f'(x) < 0$, tức là $-x^2+1 < 0 \Leftrightarrow x^2-1 > 0$. Điều này xảy ra khi $x < -1$ hoặc $x > 1$. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$.
*D.

Câu 4: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = \frac{x^2-25}{(x+4)^2}$. Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
A. $(-5; 5)$
B. $(- \infty; -5)$
C. $(5; +\infty)$
D. $(- \infty; -5)$ và $(5; +\infty)$

Lời giải
Ta có $f'(x) = \frac{x^2-25}{(x+4)^2}$.
Để hàm số đồng biến, ta cần $f'(x) > 0$, tức là $x^2-25 > 0 \Leftrightarrow (x-5)(x+5) > 0$. Điều này xảy ra khi $x < -5$ hoặc $x > 5$. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -5)$ và $(5; +\infty)$.
*D.

Câu 5: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = \frac{-x^2+36}{(x-5)^2}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
A. $(-6; 6)$
B. $(- \infty; -6)$
C. $(6; +\infty)$
D. $(- \infty; -6)$ và $(6; +\infty)$

Lời giải
Ta có $f'(x) = \frac{-x^2+36}{(x-5)^2}$.
Để hàm số nghịch biến, ta cần $f'(x) < 0$, tức là $-x^2+36 < 0 \Leftrightarrow x^2-36 > 0$. Điều này xảy ra khi $x < -6$ hoặc $x > 6$. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -6)$ và $(6; +\infty)$.
*D.

Câu 6: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = \frac{x^2-16}{(x+1)^2}$. Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
A. $(-4; 4)$
B. $(- \infty; -4)$
C. $(4; +\infty)$
D. $(- \infty; -4)$ và $(4; +\infty)$

Lời giải
Ta có $f'(x) = \frac{x^2-16}{(x+1)^2}$.
Để hàm số đồng biến, ta cần $f'(x) > 0$, tức là $x^2-16 > 0$. Điều này xảy ra khi $x < -4$ hoặc $x > 4$. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -4)$ và $(4; +\infty)$.
*D.

Câu 7: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = \frac{-x^2+81}{(x+7)^2}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
A. $(-9; 9)$
B. $(- \infty; -9)$
C. $(9; +\infty)$
D. $(- \infty; -9)$ và $(9; +\infty)$

Lời giải
Ta có $f'(x) = \frac{-x^2+81}{(x+7)^2}$.
Để hàm số nghịch biến, ta cần $f'(x) < 0$, tức là $-x^2+81 < 0 \Leftrightarrow x^2-81 > 0$. Điều này xảy ra khi $x < -9$ hoặc $x > 9$. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -9)$ và $(9; +\infty)$.
*D.

Câu 8: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = \frac{x^2-100}{(x-6)^2}$. Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
A. $(-10; 10)$
B. $(- \infty; -10)$
C. $(10; +\infty)$
D. $(- \infty; -10)$ và $(10; +\infty)$

Lời giải
Ta có $f'(x) = \frac{x^2-100}{(x-6)^2}$.
Để hàm số đồng biến, ta cần $f'(x) > 0$, tức là $x^2-100 > 0$. Điều này xảy ra khi $x < -10$ hoặc $x > 10$. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -10)$ và $(10; +\infty)$.
*D.

Câu 9: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = \frac{x^3 – 4x}{(x+2)^2}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
A. $(-2; 0)$
B. $(2; \infty)$
C. $(-\infty; -2)$
D. $(-2;0)$ và $(2;\infty)$

Lời giải
$f'(x) = \frac{x^3 – 4x}{(x+2)^2} = \frac{x(x^2 – 4)}{(x+2)^2} = \frac{x(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x(x-2)}{x+2}$ khi $x \ne -2$.
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
$$\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & -2 & & 0 & & 2 & & \infty \\ \hline f'(x) & – & & || & – & 0 & + & 0 & – & + \\ \end{array}$$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$ và $(2; \infty)$.
*D

Câu 10: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = \frac{x^3 + x^2 – 6x}{(x-1)^2}$. Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
A. $(-3; 0)$
B. $(2; \infty)$
C. $(-\infty; -3)$
D. $(-3; 0)$ và $(2; \infty)$

Lời giải
$f'(x) = \frac{x^3 + x^2 – 6x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)(x+3)}{(x-1)^2}$ khi $x \ne 1$.
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -3, x = 0, x = 2$.
$$\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -3 & & 0 & & 1 & & 2 & & \infty \\ \hline f'(x) & – & & 0 & + & 0 & – & || & – & 0 & + & \\ \end{array}$$
Hàm số đồng biến trên khoảng $(-3; 0)$ và $(2; \infty)$.
*D