Cho \(a,\,b,\,c\) là các số thực dương và khác \(1\) thỏa mãn \(\log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}\frac{c}{b} = {\log _a}\frac{c}{{{a^3}b}}\). Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(P = {\log _a}\left( {ab} \right) – {\log _b}\left( {bc} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(S = 2{m^2} + 9{M^2}\).

Cho \(a,\,b,\,c\) là các số thực dương và khác \(1\) thỏa mãn \(\log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}\frac{c}{b} = {\log _a}\frac{c}{{{a^3}b}}\). Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(P = {\log _a}\left( {ab} \right) – {\log _b}\left( {bc} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(S = 2{m^2} + 9{M^2}\).

A. \(S = 28\).

 B. \(S = 25\).

 C. \(S = 26\).

 D. \(S = 27\).

Lời giải:

Đặt\(x = {\log _a}b;y = {\log _b}c,\left( {x;y > 0} \right)\)\( \Rightarrow {\log _a}c = xy\)

\( \Rightarrow P = {\log _a}\left( {ab} \right) – {\log _b}\left( {bc} \right)\)\( = {\log _a}a + {\log _a}b – {\log _b}b – {\log _b}c\)\( = 1 + x – 1 – y\)\( = x – y\)\( \Rightarrow x = P + y\)

Khi đó ta có

\(\log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}\frac{c}{b} = {\log _a}\frac{c}{{{a^3}b}}\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2y – 2 = xy – 3 – x\)

\( \Leftrightarrow {\left( {P + y} \right)^2} + {y^2} + 2y – 2 = \left( {P + y} \right)y – 3 – \left( {P + y} \right)\)

\( \Leftrightarrow {y^2} + \left( {P + 3} \right)y + {P^2} + P + 1 = 0\)

Phương trình có nghiệm khi \(\Delta  \ge 0\)\( \Leftrightarrow  – 3{P^2} + 2P + 5 \ge 0\)\( \Leftrightarrow  – 1 \le P \le \frac{5}{3}\)

\( \Rightarrow m =  – 1;M = \frac{5}{3}\)\( \Rightarrow S = 2{m^2} + 9{M^2}\)\( = 2.{\left( { – 1} \right)^2} + 9.\left( {\frac{{25}}{9}} \right) = 27\).

===========
Đây là các câu File: Câu 39 GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LOGARIT VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK – 2024.