Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(R\) và đồ thị có ba điểm cực trị như hình dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số \(g(x) = f({x^3} – 3x + 2)\) là

PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP

Số điểm cực trị của hàm số \(g(x) = f({x^3} – 3x + 2)\) là

A. \(5\).

B. \(7\).

C. \(9\).

D. \(11\).

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Tự luận truyền thống

Ta có:

\(g'(x) = (3{x^2} – 3).f'({x^3} – 3x + 2)\)

\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} – 3 = 0\\f'({x^3} – 3x + 2) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  – 1\\{x^3} – 3x + 2 = a\;(1)\\{x^3} – 3x + 2 = b\;(2)\\{x^3} – 3x + 2 = c\;(3)\end{array} \right.\)

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 3x + 2\), suy ra:

Phương trình \((1)\) có 1 nghiệm khác \( \pm 1\), vì \( – 4 < a <  – 1\)

Phương trình (2) có 1 nghiệm khác \( \pm 1\), vì \( – 1 < b < 0\)

Phương trình (3) có 3 nghiệm phân biệt khác \( \pm 1\), vì \(0 < c < 4\)

Như vậy phương trình \(g'(x) = 0\) có \(7\)nghiệm phân biệt, tức là hàm số \(g(x) = f({x^3} – 3x + 2)\) có \(7\) điểm cực trị. Chọn B

Cách 2: Phương pháp ghép trục

Ta có hàm số \(g(x) = f({x^3} – 3x + 2)\)

Đặt \(t = {x^3} – 3{\rm{x}} + 2 \Rightarrow t’ = 3{{\rm{x}}^2} – 3; \Leftrightarrow t’ = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\) 

Khi đó hàm số trở thành \(g\left( t \right) = f\left( t \right)\).

Từ đồ thị hàm số\(g\left( x \right) = f\left( x \right)\)ta có các điểm cực trị \(a \in \left( { – \infty ; – 1} \right),\;b \in \left( { – 1;0} \right),\;c \in \left( {0; + \infty } \right)\). 

Khi đó ta có bảng biến thiên sau:

Vậy có tất cả 7 điểm cực trị.