Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right) = {\left( {x – 1} \right)^3}\left[ {{x^2} + \left( {1 – 3m} \right)x + 2{m^2} – 2m} \right]\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m \in [ – 5;5]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right| + m} \right)\) có tối thiểu 3 cực trị.
A. \(8.\)
B. \(9.\)
C. \(10.\)
D. \(11.\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có:\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} + \left( {1 – 3m} \right)x + 2{m^2} – 2m = 0\left( * \right)\end{array} \right.\)
\({\Delta _{\left( * \right)}} = {\left( {1 – 3m} \right)^2} – 4\left( {2{m^2} – 2m} \right) = {\left( {m + 1} \right)^2}\).
\(g’\left( x \right) = f’\left( {\left| x \right| + m} \right).\frac{x}{{\left| x \right|}}\)
TH1: \(m = – 1\).
\(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\left| x \right| + m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{\left| x \right| = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 2 \end{array} \right.} \right.\).
Vậy nhận \(m = – 1\).
TH2: \(m \ne – 1\). Khi đó \(\left( * \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(m – 1\) và \(2m\).
\(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\left| x \right| + m = 1\\\left| x \right| + m = m – 1\\\left| x \right| + m = 2m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\left| x \right| = 1 – m\\\left| x \right| = – 1(VN)\\\left| x \right| = m\end{array} \right.\)
TH2.1: \(1 – m > m \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}\)
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow 1 – m > 0 \Leftrightarrow m < 1\).
Vậy .
TH2.2: \(1 – m < m \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}\)
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow m > 0\).
Vậy .
Vậy có 11 giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
=======
Để lại một bình luận