Một hình nón đỉnh \(S\), đáy là hình tròn tâm \(O\) và \(SO = a\). Một mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua đỉnh \(S\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) theo dây cung \(AB\) sao cho góc \(\widehat {AOB} = 90^\circ \) và cách \(O\) một khoảng \(\frac{a}{2}\). Diện tích xung quanh hình nón bằng

Câu hỏi: Một hình nón đỉnh \(S\), đáy là hình tròn tâm \(O\) và \(SO = a\). Một mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua đỉnh \(S\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) theo dây cung \(AB\) sao cho góc \(\widehat {AOB} = 90^\circ \) và cách \(O\) một khoảng \(\frac{a}{2}\). Diện tích xung quanh hình nón bằng

A. \(\frac{{\pi {a^2}\sqrt {10} }}{6}\).

B. \(\frac{{\pi {a^2}\sqrt {10} }}{{3\sqrt 3 }}\).

C. \(\frac{{\pi {a^2}\sqrt {10} }}{3}\).

D. \(\frac{{2\pi {a^2}\sqrt {10} }}{3}\).

GY:

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Kẻ \(OH \bot SI\)

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{I^2}}}\)\( \Rightarrow \frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{4}{{{a^2}}} – \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}}\)\( \Rightarrow OI = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Tam giác \(OAB\) vuông cân tại \(O\) nên:

\(AB = 2OI = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\), \(R = OA = OB = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Suy ra: \(SB = \sqrt {S{O^2} + O{B^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{3}\).

Diện tích xung quanh của hình nón:

\({S_{xq}} = \pi Rl = \pi \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\frac{{a\sqrt {15} }}{3} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt {10} }}{3}\).

=======