Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho khối chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh\(a\), tâm \(O\), \(SA\) vuông góc với với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Góc giữa đường thẳng \(SO\) và mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) bằng \(30^\circ \). Gọi \(M\),\(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\),\(AD\). Tính thể tích khối chóp \(S.CDNM\) theo \(a\).
\(\frac{{{a^3}}}{3}\).
B. \(\frac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{16}}\).
C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).
D. \(\frac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{48}}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}ON//AB\\AB \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow ON \bot AD\)
Có \(\left\{ \begin{array}{l}ON \bot AD\\ON \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow ON \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow N\)là hình chiếu của \(O\) lên mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).
\( \Rightarrow SN\) là hình chiếu của \(SO\) trên \(\left( {SAD} \right)\)
\( \Rightarrow \widehat {\left( {SO;\left( {SAD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SO;SN} \right)} = \widehat {NSO} = {30^0}\)
Trong tam giác \(SON\) vuông tại \(N\) có \(\widehat {NSO} = 30^\circ \) suy ra \(SO = 2NO = a\)
Trong tam giác \(SOA\) vuông tại \(A\) có \(SA = \sqrt {S{O^2} – O{A^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Ta lại có \({S_{CDNM}} = {S_{ABCD}} – \left( {{S_{AMN}} + {S_{BCM}}} \right) = {a^2} – \left( {\frac{{{a^2}}}{8} + \frac{{{a^2}}}{4}} \right) = \frac{{5{a^2}}}{8}.\)
Vậy\({V_{S.CDNM}} = \frac{1}{3}.\frac{{5{a^2}}}{8}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{48}}\).
Để lại một bình luận