Người ta muốn xây một bể chứa nước hình nón cụt có bán kính đáy lớn là \(3\,m\), góc tạo bởi đường sinh và mặt phẳng chứa đáy lớn là \({60^o}\). Trong đó phần không gian chứa nước bên trong là hình trụ có đáy là đáy nhỏ của hình nón cụt và chiều cao bằng chiều cao hình nón cụt. Tìm chiều cao của bể để khoảng không gian chứa nước có thể tích lớn nhất.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi \(S\) là đỉnh của hình nón. Đặt \(IJ = x\) là chiều cao của hình nón cụt.

Theo định lý Talet ta có \(\frac{{SI}}{{SJ}} = \frac{{IA}}{{JC}}\).

Suy ra

\(IA = \frac{{SI.JC}}{{SJ}} = \frac{{\left( {SJ – x} \right).JC}}{{SJ}} = \frac{{\left( {JC.\tan {{60}^o} – x} \right).JC}}{{JC.\tan {{60}^o}}} = \frac{{\left( {3\sqrt 3  – x} \right).3}}{{3\sqrt 3 }} = 3 – \frac{x}{{\sqrt 3 }}\).

Thể tích của phần không gian hình trụ là:

\(V = \pi .I{A^2}.IJ = \pi .{\left( {3 – \frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right)^2}.x = \frac{{\pi \sqrt 3 }}{2}.{\left( {3 – \frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right)^2}.\frac{{2x}}{{\sqrt 3 }}\).

Ta thấy rằng \(0 < x < SJ\) hay \(0 < x < 3\sqrt 3 \).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương \(3 – \frac{x}{{\sqrt 3 }},3 – \frac{x}{{\sqrt 3 }},\frac{{2x}}{{\sqrt 3 }}\) ta được

\(\left( {3 – \frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right) + \left( {3 – \frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right) + \frac{{2x}}{{\sqrt 3 }} \ge 3\sqrt[3]{{\left( {3 – \frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right)\left( {3 – \frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right)\frac{{2x}}{{\sqrt 3 }}}}\).

Do đó \(6 \ge 3\sqrt[3]{{\frac{2}{{\pi \sqrt 3 }}V}} \Rightarrow V \le 4\sqrt 3 \pi \).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = \sqrt 3 \).

Như vậy phần không gian hình trụ đạt thể tích lớn nhất là \(4\sqrt 3 \pi \) khi \(x = \sqrt 3 \,\left( m \right)\).

  DẠNG TOÁN 44 KHỐI TRÒN XOAY BÀI TOÁN THỰC TẾ – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Người ta muốn xây một bể chứa nước hình nón cụt có bán kính đáy lớn là \(3\,m\), góc tạo bởi đường sinh và mặt phẳng chứa đáy lớn là \({60^o}\). Trong đó phần không gian chứa nước bên trong là hình trụ có đáy là đáy nhỏ của hình nón cụt và chiều cao bằng chiều cao hình nón cụt. Tìm chiều cao của bể để khoảng không gian chứa nước có thể tích lớn nhất.

A. \(\sqrt 3 \). 

B. \(\frac{1}{2}\). 

C. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\). 

D. \(1\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi \(S\) là đỉnh của hình nón. Đặt \(IJ = x\) là chiều cao của hình nón cụt.

Theo định lý Talet ta có \(\frac{{SI}}{{SJ}} = \frac{{IA}}{{JC}}\).

Suy ra

\(IA = \frac{{SI.JC}}{{SJ}} = \frac{{\left( {SJ – x} \right).JC}}{{SJ}} = \frac{{\left( {JC.\tan {{60}^o} – x} \right).JC}}{{JC.\tan {{60}^o}}} = \frac{{\left( {3\sqrt 3  – x} \right).3}}{{3\sqrt 3 }} = 3 – \frac{x}{{\sqrt 3 }}\).

Thể tích của phần không gian hình trụ là:

\(V = \pi .I{A^2}.IJ = \pi .{\left( {3 – \frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right)^2}.x = \frac{{\pi \sqrt 3 }}{2}.{\left( {3 – \frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right)^2}.\frac{{2x}}{{\sqrt 3 }}\).

Ta thấy rằng \(0 < x < SJ\) hay \(0 < x < 3\sqrt 3 \).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương \(3 – \frac{x}{{\sqrt 3 }},3 – \frac{x}{{\sqrt 3 }},\frac{{2x}}{{\sqrt 3 }}\) ta được

\(\left( {3 – \frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right) + \left( {3 – \frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right) + \frac{{2x}}{{\sqrt 3 }} \ge 3\sqrt[3]{{\left( {3 – \frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right)\left( {3 – \frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right)\frac{{2x}}{{\sqrt 3 }}}}\).

Do đó \(6 \ge 3\sqrt[3]{{\frac{2}{{\pi \sqrt 3 }}V}} \Rightarrow V \le 4\sqrt 3 \pi \).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = \sqrt 3 \).

Như vậy phần không gian hình trụ đạt thể tích lớn nhất là \(4\sqrt 3 \pi \) khi \(x = \sqrt 3 \,\left( m \right)\).