Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thằng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 3t + 1\\y = t\\z = 2t – 1\end{array} \right.\) và 2 đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 2}}{{ – 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{x – 1}}{2}\), \({d_2}:\frac{{x – 3}}{2} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{z}{1}\). Đường thẳng \(d’\) song song \(\Delta \), đồng thời cắt cả \({d_1}\), \({d_2}\) có phương trình là

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thằng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 3t + 1\\y = t\\z = 2t – 1\end{array} \right.\) và 2 đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 2}}{{ – 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{x – 1}}{2}\), \({d_2}:\frac{{x – 3}}{2} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{z}{1}\). Đường thẳng \(d’\) song song \(\Delta \), đồng thời cắt cả \({d_1}\), \({d_2}\) có phương trình là

A. \(d’:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t – 1\\y = – t – 2\\z = 2t – 1\end{array} \right.\).
B. \(d’:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t + 1\\y = t + 2\\z = 2t + 1\end{array} \right.\).
C. \(d’:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t + 2\\y = – t – 1\\z = 2t + 1\end{array} \right.\).
D. \(d’:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t + 2\\y = t – 1\\z = 2t + 1\end{array} \right.\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta viết lại \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = – {t_1} – 2\\y = 2{t_1}\\z = 2{t_1} + 1\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2{t_2} + 3\\y = {t_2} + 1\\z = {t_2}\end{array} \right.\).
Gọi \(A,\,B\) lần lượt là giao điểm của \(d’\) và \({d_1},\,{d_2}\).
Khi đó: \(A\left( { – {t_1} – 2\,;\,2{t_1}\,;\,2{t_1} + 1} \right)\), \(B\left( {2{t_2} + 3\,;\,{t_2} + 1\,;\,{t_2}} \right)\) và \(\overrightarrow {AB} = \left( {2{t_2} + {t_1} + 5\,;\,{t_2} – 2{t_1} + 1\,;\,{t_2} – 2{t_1} – 1} \right)\) là vecto chỉ phương của \(d’\).
Do \(d’\,{\rm{//}}\,\Delta \Rightarrow \overrightarrow {AB} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {3\,;1;\,2} \right)\) \( \Leftrightarrow \frac{{2{t_2} + {t_1} + 5}}{3} = \frac{{{t_2} – 2{t_1} + 1}}{1} = \frac{{{t_2} – 2{t_1} – 1}}{2}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7{t_1} – {t_2} = – 2\\ – 2{t_1} + {t_2} = – 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = – 1\\{t_2} = – 5\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { – 1\,;\, – 2\,;\, – 1} \right)\).
Đường thẳng \(d’\) nhận \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {3\,;1;\,2} \right)\) làm vecto chỉ phương và đi qua \(A\left( { – 1\,;\, – 2\,;\, – 1} \right)\) có phương trình là \(d’:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t – 1\\y = t – 2\\z = 2t – 1\end{array} \right.\).
Điểm \(\left( {2\,;\, – 1\,;\,1} \right)\) thuộc đường thẳng \(d’:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t – 1\\y = t – 2\\z = 2t – 1\end{array} \right.\).