Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 15}}{{10}} = \frac{{y – 1}}{{ – 6}} = \frac{{z + 9}}{7}\) và \({d_2}:\frac{{x + 9}}{3} = \frac{{y – 11}}{{ – 2}} = \frac{{z – 6}}{{ – 1}}\). Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1\,;\,1\,;\,1} \right)\) lần lượt cắt \({d_1}\), \({d_2}\) tại \(B\) và \(C.\) Độ dài \(BC\) là

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 15}}{{10}} = \frac{{y – 1}}{{ – 6}} = \frac{{z + 9}}{7}\) và \({d_2}:\frac{{x + 9}}{3} = \frac{{y – 11}}{{ – 2}} = \frac{{z – 6}}{{ – 1}}\). Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1\,;\,1\,;\,1} \right)\) lần lượt cắt \({d_1}\), \({d_2}\) tại \(B\) và \(C.\) Độ dài \(BC\) là

A. \(69\).
B. \(\sqrt {69} \).
C. \(276\).
D. \(2\sqrt {69} \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có: \(d \cap {d_1} = B \Rightarrow B(15 + 10{t_1}\,;\,1 – 6{t_1}\,;\, – 9 + 7{t_1})\).
\(d \cap {d_2} = C \Rightarrow C( – 9 + 3{t_2}\,;1\,1 – 2{t_2}\,;\,6 – {t_2})\).
Khi đó: \(\overrightarrow {AB} = \left( {14 + 10{t_1}\,;\, – 6{t_1}\,;\, – 10 + 7{t_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( { – 10 + 3{t_2}\,;\,10 – 2{t_2}\,;\,5 – {t_2}} \right)\).
Ba điểm\(A\), \(B\), \(C\) cùng thuộc đường thẳng \(d\)\( \Leftrightarrow \)\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng phương
\( \Leftrightarrow \)\(\exists k \in \mathbb{R}:\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}14 + 10{t_1} = k\left( { – 10 + 3{t_2}} \right)\\ – 6{t_1} = k\left( {10 – 2{t_2}} \right)\\ – 10 + 7{t_1} = k\left( {5 – {t_2}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 1\\k{t_2} = 18\\k = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 1\\{t_2} = 6\end{array} \right.\).
Do đó \(B\left( {25\,;\, – 5\,; – 2} \right)\), \(C\left( {9\,;\, – 1\,;\,0} \right)\).
Vậy \(BC = 2\sqrt {69} \).