Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y – 4z = 0\), đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{1}\) và điểm \(A\left( {1;\,\,3;\,\,1} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\), nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cách đường thẳng \(d\) một khoảng cách lớn nhất. Gọi \(\overrightarrow u = \left( {a;\,\,b;\,\,1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \). Tính \(a + 2b\).

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian với hệ tọa độ
\(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y – 4z = 0\), đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{1}\) và điểm \(A\left( {1;\,\,3;\,\,1} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\), nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cách đường thẳng \(d\) một khoảng cách lớn nhất. Gọi \(\overrightarrow u = \left( {a;\,\,b;\,\,1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \). Tính \(a + 2b\).

A. \(a + 2b = 7\).
B. \(a + 2b = 4\).
C. \(a + 2b = 0\).
D. \(a + 2b = – 3\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {1;\,\, – 1;\,\,3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;\,\, – 1;\,\,1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;\,1;\, – 4} \right)\).
Nhận xét rằng, \(A \notin d\) và \(d \cap \left( P \right) = I\left( { – 7;\,\,3;\,\, – 1} \right)\).
Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa \(d\) và song song với \(\Delta \).
Khi đó \(d\left( {\Delta ,d} \right) = d\left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right)\).
Gọi \(H\), \(K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( Q \right)\) và đường thẳng \(d\).
Gọi \(\left( R \right)\) là mặt phẳng chứa \(A\) và vuông góc \(d\), \(\left( R \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;\,\, – 1;\,\,1} \right)\). Khi đó \(\left( R \right)\) có phương trình \(2x – y + z = 0\).
Có \(K = d \cap \left( R \right)\). Suy ra \(K\left( { – 1;0;2} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(d\).
Ta luôn có \(AH \le AK\).
Do đó ta có: \(d\left( {\Delta ,d} \right)\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \)\(d\left( {A,\left( Q \right)} \right)\) lớn nhất \( \Leftrightarrow AH\) lớn nhất \( \Leftrightarrow H \equiv K\).
Có \(\overrightarrow {AK} = \left( { – 2; – 3;1} \right)\); \(AK \bot \left( Q \right) \Rightarrow AK \bot \Delta \).
Đường thẳng \(\Delta \) cần tìm nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và vuông góc với \(AK\) nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {AK} } \right]\)\( = \left( { – 11;\,\,7;\,\, – 1} \right)\)\( = – \left( {11;\,\, – 7;\,\,1} \right)\).
Suy ra \(a = 11;\,\,b = – 7\). Vậy \(a + 2b = – 3\).