Trong không gian\(Oxyz\), cho mặt cầu\((S)\): \({(x – 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z – 3)^2} = 27\). Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng đi qua hai điểm \(A(0;0; – 4)\), \(B(2;0;0)\) và cắt \((S)\) theo giao tuyến là đường tròn\((C)\). Xét các khối nón có đỉnh là tâm của \((S)\) và đáy là \((C)\). Biết rằng khi thể tích của khối nón lớn nhất thì mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình dạng \(ax + by – z + d = 0\). Tính \(P = a – b – d\).

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

Trong không gian\(Oxyz\), cho mặt cầu\((S)\): \({(x – 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z – 3)^2} = 27\). Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng đi qua hai điểm \(A(0;0; – 4)\), \(B(2;0;0)\) và cắt \((S)\) theo giao tuyến là đường tròn\((C)\). Xét các khối nón có đỉnh là tâm của \((S)\) và đáy là \((C)\). Biết rằng khi thể tích của khối nón lớn nhất thì mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình dạng \(ax + by – z + d = 0\). Tính \(P = a – b – d\).
A.\(P = – 4\).
B. \(P = 8\).
C. \(P = 0\).
D. \(P = 4\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Mặt cầu \((S)\)có tâm \(I\left( {1; – 2;3} \right)\) và bán kính \(R = 3\sqrt 3 \).
Vì \((\alpha )\)đi qua 2 điểm \(A(0;0; – 4)\), \(B(2;0;0)\) nên ta có \(\)\(\left\{ \begin{array}{l}a.0 + b.0 + 4 + d = 0\\a.2 + b.0 – 0 + d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = – 4\\a = 2\end{array} \right.\).
Gọi \(r\), \(h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối nón.
Khi đó thể tích của khối nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\).
Ta có \(h = d(I,(\alpha )) = \sqrt {{R^2} – {r^2}} = \sqrt {27 – {r^2}} \) \( \Rightarrow \) \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}\sqrt {27 – {r^2}} \).
Đặt \(t = \sqrt {27 – {r^2}} \Rightarrow {r^2} = 27 – {t^2}\), điều kiện: \(0 < t < 3\sqrt 3 \). Khi đó \(V = \frac{1}{3}\pi \left( {27 - {t^2}} \right)t\), \(\left( {0 < t < 3\sqrt 3 } \right)\). Ta có \(V' = \frac{1}{3}\pi \left( {27 - 3{t^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\left( n \right)\\t = - 3\left( l \right)\end{array} \right.\). Bảng biến thiên:
Thể tích khối nón lớn nhất khi \(t = 3 \Rightarrow {r^2} = 18 \Rightarrow h = 3\).
Mặt khác \(h = d\left( {I,(\alpha )} \right) = \frac{{\left| {a – 2b – 3 + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + 1} }} = 3\)
mà \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\d = – 4\end{array} \right. \Rightarrow \left| { – 2b – 5} \right| = 3\sqrt {5 + {b^2}} \Leftrightarrow {b^2} – 4b + 4 = 0 \Leftrightarrow b = 2\).
Vậy \(P = a – b – d = 2 – 2 + 4 = 4\).
========

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)