Đề bài: Cho họ đường cong bậc ba có phương trình là $ y =-x^3+3x^2 -3 $ . Xác định $p$ để trên $(C)$ có $2$ tiếp tuyến có hệ số góc bằng $p$, trong trường hợp này chứng tỏ trung điểm của hai tiếp điểm là điểm cố định.
Lời giải
Tiếp điểm của tiếp tuyến (với (C)) có hệ số góc bằng p là nghiệm của:
$y’ = p \Leftrightarrow 3x^2 – 6x + p = 0 (3)$
Ta có $\Delta’ = 9 – 3p > 0 \Leftrightarrow p Vậy khi p Gọi $x_3, x_4$ là nghiệm của (3).
Gọi $M_3(x_3; y_3); M_4(x_4;y_4)$ là 2 tiếp điểm. Ta có :
$\frac{{{x_3} + {x_4}}}{2} = \frac{{ – b}}{{2a}} = 1 $ ; $ \frac{{{y_3} + {y_4}}}{2} = \frac{{ – (x_3^3 + x_4^3) + 3(x_3^2 + x_4^2) – 6}}{2} = – 1 $
Vậy điểm cố định (1, –1) (điểm uốn) là trung điểm của $M_3M_4.$
Trả lời