Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
9: Cho khối nón \(\left( N \right)\)có chiều cao bằng \(\sqrt 3 \) lần bán kính đáy. Dùng một mặt phẳng vuông góc với trục của \(\left( N \right)\) để chia \(\left( N \right)\)thành hai phần có thể tích bằng nhau. Hỏi tỉ lệ diện tích toàn phần của phần chứa đỉnh nón so với diện tích toàn phần của phần không chứa đỉnh nón bằng bao nhiêu?
A. \(\frac{3}{{3\sqrt[3]{4} – 1}}\).
B. \(\frac{3}{{2\sqrt 3 – 1}}\).
C. \(\frac{3}{{3\sqrt[3]{2} – 1}}\).
D. \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Lời giải
Chọn A
Thể tích khối nón \(\left( N \right)\) bằng \(V = \frac{1}{3}\pi .{r^2}h = \frac{1}{3}\pi {r^2}\left( {r\sqrt 3 } \right) = \pi {r^3}\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Ta luôn có \(\frac{h}{r} = \frac{{h’}}{{r’}} = \sqrt 3 \)
Suy ra thể tích hai phần (sau khi chia mặt phẳng vuông góc với \(SO\)) là \(V’ = \frac{V}{2} = \frac{{\pi {r^3}}}{2}\)
Cũng tính được \(V’ = \frac{V}{2} = \frac{{\pi {r^3}\sqrt 3 }}{6} = \frac{1}{3}\pi {\left( {r’} \right)^2}h’ = \frac{1}{3}\pi {\left( {r’} \right)^2}r’\sqrt 3 = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\pi {\left( {r’} \right)^3} \Rightarrow r = r’\sqrt[3]{2}\)
Diện tích tàn phần khối nón bên trên là:
\({S_1} = \pi {\left( {r’} \right)^2} + \pi r’\sqrt {{{\left( {r’} \right)}^2} + {{\left( {h’} \right)}^2}} = \pi {\left( {r’} \right)^2} + \pi r’\sqrt {{{\left( {r’} \right)}^2} + {{\left( {r’\sqrt 3 } \right)}^2}} = 3\pi {\left( {r’} \right)^2}\)
Diện tích tàn phần khối nón bên dưới là:
\({S_2} = \pi r\sqrt {{r^2} + {h^2}} – \pi r’\sqrt {{{\left( {r’} \right)}^2} + {{\left( {h’} \right)}^2}} + \pi {\left( {r’} \right)^2} + \pi {r^2} = \left( {2\pi {r^2} – 2\pi {{\left( {r’} \right)}^2}} \right) + \pi {\left( {r’} \right)^2} + \pi {r^2}\)
\({S_2} = 3\pi {r^2} – \pi {\left( {r’} \right)^2}\)
Suy ra tỷ lệ \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = \frac{{3\pi {{\left( {r’} \right)}^2}}}{{3\pi {r^2} – \pi {{\left( {r’} \right)}^2}}} = \frac{{3\pi {{\left( {r’} \right)}^2}}}{{3\pi {{\left( {r’} \right)}^2}\sqrt[3]{4} – \pi {{\left( {r’} \right)}^2}}} = \frac{3}{{\sqrt[3]{4} – 1}}\)
Trả lời