47. Có bao nhiêu số nguyên \(y\)sao cho tồn tại \(x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\) thỏa mãn \({27^{3{x^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){.27^{9x}}\)?

Câu hỏi: 47. Có bao nhiêu số nguyên \(y\)sao cho tồn tại \(x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\) thỏa mãn \({27^{3{x^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){.27^{9x}}\)? A. \(27\).

B. \(9\).

C. \(11\).

D. \(12\).

Lời giải

+) Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 3{x^2} + xy = {\log _{27}}\left( {1 + xy} \right) + 9x\)

\(\, \Leftrightarrow 3{x^2} – 9x – 1 = {\log _{27}}t – t\), với \(t = 1 + xy > 0\).

+) Xét hàm số \(\,f\left( x \right) = 3{x^2} – 9x – 1\).

Ta có \( – \frac{{31}}{4} \le f\left( x \right) < – 1\) \(\forall x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\).

+) Xét hàm số \(g\left( t \right) = {\log _{27}}t – t,\,\,t > 0\).

\(g’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 27}} – 1\); \(g’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{{\ln 27}}\)

Ta có \( – \frac{{31}}{4} \le f\left( x \right) < – 1\) \(\forall x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\). Suy ra \( – \frac{{31}}{4} \le g\left( t \right) < – 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \in \left( { \approx {{8,07.10}^{ – 12}}; \approx 0,04} \right)\\t \in \left( {1; \approx 8,4} \right)\end{array} \right.\)

hay \(\left[ \begin{array}{l} \approx {8,07.10^{ – 12}} < 1 + xy < \approx 0,04\\1 < 1 + xy < \approx 8,4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \approx \frac{{ – 1 + {{8,07.10}^{ – 12}}}}{x} < y < \approx \frac{{ – 1 + 0,04}}{x}\\0 < y < \approx \frac{{7,4}}{x}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} – 3 < y < – \frac{1}{3}\\0 < y \le 22\end{array} \right.\), (\(x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\), \(y\) nguyên).

+) Nhận thấy \(y = – 2;y = – 1\) thỏa mãn đề.

+) Với \(0 < y \le 22\), ta có \(\left( 1 \right)\)\(\, \Leftrightarrow 3{x^2} – 9x – 1 – {\log _{27}}\left( {1 + xy} \right) + \left( {1 + xy} \right) = \)\(0\).

Nhập hàm, thay các giá trị nguyên của y, kiểm tra nghiệm \(x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\) dẫn đến chọn \(1 \le y \le 9\).

(Chú ý hàm số \(f\left( t \right) – t\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\) nên \(\forall y \ge 10\), ta có:\(\,3{x^2} – 9x – 1 – {\log _{27}}\left( {1 + xy} \right) + \left( {1 + xy} \right) \le 3{x^2} – 9x – 1 – {\log _{27}}\left( {1 + 10x} \right) + \left( {1 + 10x} \right) < 0\) \(\forall x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\).

Do đó loại \(y \ge 10\)).

Vậy \(y \in \left\{ { – 2; – 1;1;2;…;9} \right\}\) nên có \(11\) giá trị nguyên của \(y\) thỏa mãn đề.

=======