Có bao nhiêu số nguyên \(x\), \(x \in \left[ { – 10;10} \right]\) thỏa mãn \({3.3^x} + 2x + 1 + \cos 2y = {3^{{{\sin }^2}y}}\)?

Có bao nhiêu số nguyên \(x\), \(x \in \left[ { – 10;10} \right]\) thỏa mãn \({3.3^x} + 2x + 1 + \cos 2y = {3^{{{\sin }^2}y}}\)?

A. \(2\).
B. \(3\).
C. \(1\).
D. \(0\).

Lời giải

Ta có:
\({3.3^x} + 2x + 1 + \cos 2y = {3^{{{\sin }^2}y}}\)
\( \Leftrightarrow {3.3^x} + 2x + 1 + 1 – 2{\sin ^2}y = {3^{{{\sin }^2}y}}\)\( \Leftrightarrow {3^{x + 1}} + 2\left( {x + 1} \right) = {3^{{{\sin }^2}y}} + 2{\sin ^2}y\) .
Đặt \(f\left( t \right) = {3^t} + 2t \Rightarrow f’\left( t \right) = {3^t}.\ln 3 + 2 > 0,\forall t \in \mathbb{R} \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Vì vậy phương trình \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {x + 1} \right) = f\left( {{{\sin }^2}y} \right)\)
\( \Leftrightarrow x + 1 = {\sin ^2}y\) \( \Leftrightarrow x = – {\cos ^2}y\) \( \Leftrightarrow – 1 \le x \le 0\).
Mà \(x\) nguyên, \(x \in \left[ { – 10;10} \right]\) có \(2\) giá trị của \(x\) thỏa yêu cầu bài toán.