Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({\left( {7 – 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} + m{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} = {2^{{x^2} – 1}}\) có đúng bốn nghiệm phân biệt.
A. \(0 < m < \dfrac{1}{{16}}\)
B. \(0 \le m < \dfrac{1}{{16}}\)
C. \( – \dfrac{1}{2} < m < 0\)
D. \( – \dfrac{1}{2} < m \le \dfrac{1}{{16}}\)
======= LỜI GIẢI =======
Ta có:
\(\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)\left( {7 – 3\sqrt 5 } \right) = 49 – 45 = 4\) \( \Rightarrow 7 + 3\sqrt 5 = \dfrac{4}{{7 – 3\sqrt 5 }}.\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \;{\left( {7 – 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} + m{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} = {2^{{x^2} – 1}}\\ \Leftrightarrow \;{\left( {\dfrac{4}{{7 + 3\sqrt 5 }}} \right)^{{x^2}}} + m{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} = \dfrac{1}{2}{.2^{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow {2.2^{2{x^2}}} – {2^{{x^2}}}.{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^2} + 2m{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^{2{x^2}}} = 0\;\\ \Leftrightarrow 2.{\left( {\dfrac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }}} \right)^{2{x^2}}} – {\left( {\dfrac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }}} \right)^{{x^2}}} + 2m = 0\;\;\;\left( * \right)\end{array}\)
Đặt \({\left( {\dfrac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }}} \right)^{{x^2}}} = t\; \Rightarrow {x^2} = {\log _{\dfrac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }}}}t.\)
Ta có: \(0 < \dfrac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }} < 1 \Rightarrow {\log _{\dfrac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }}}}t > 0 \Leftrightarrow 0 < t < 1.\)
\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 2{t^2} – t + 2m = 0\;\;\left( 1 \right)\)
Để phương trình \(\left( * \right)\) có 4 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow pt\;\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \(t \in \left( {0;\;1} \right).\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\af\left( 0 \right) > 0\\af\left( 1 \right) > 0\\0 < – \dfrac{b}{{2a}} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 – 16m > 0\\4m > 0\\2\left( {2m + 1} \right) > 0\\0 < \dfrac{1}{2} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{1}{{16}}\\m > 0\\m > – \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \dfrac{1}{{16}}.\)