473. Có bao nhiêu số nguyên \(a > 2\) để phương trình \(\log \left[ {{{\left( {{{\log }_3}x} \right)}^{\log a}} + 3} \right] = {\log _a}\left( {{{\log }_3}x – 3} \right)\) có nghiệm \(x > 81\).

Câu hỏi: 473. Có bao nhiêu số nguyên \(a > 2\) để phương trình \(\log \left[ {{{\left( {{{\log }_3}x} \right)}^{\log a}} + 3} \right] = {\log _a}\left( {{{\log }_3}x – 3} \right)\) có nghiệm \(x > 81\). A. \(12\)

B. \(6\)

C. \(7\)

D. \(8\)

Lời giải

Đặt \(t = {\left( {{{\log }_3}x} \right)^{\log a}} + 3 \Rightarrow {\left( {{{\log }_3}x} \right)^{\log a}} = t – 3\)

\( \Rightarrow {\log _a}{\left[ {{{\log }_3}x} \right]^{\log a}} = {\log _a}\left( {t – 3} \right) \Leftrightarrow \log a.{\log _a}\left( {{{\log }_3}x} \right) = {\log _a}\left( {t – 3} \right)\)

\( \Leftrightarrow \log \left( {{{\log }_3}x} \right) = {\log _a}\left( {t – 3} \right)\,\,\left( 1 \right)\)

Khi đó phương trình đã cho trở thành \(\log t = {\log _a}\left( {{{\log }_3}x – 3} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\)

Trừ vế với vế của \(\left( 1 \right)\) cho \(\left( 2 \right)\) ta được: \(\log \left( {{{\log }_3}x} \right) + {\log _a}\left( {{{\log }_3}x – 3} \right) = \log t + {\log _a}\left( {t – 3} \right)\)

Dùng hàm đặc trưng \( \Rightarrow {\log _3}x = t \Leftrightarrow {\log _3}x = {\left( {{{\log }_3}x} \right)^{\log a}} + 3\)

Đặt \(t = {\log _3}x\). Do \(x > 81 \Rightarrow {\log _3}x > {\log _3}81 = 4 \Rightarrow t > 4\)

Phương trình trở thành: \(t = {t^{\log a}} + 3\,\,\left( * \right)\)

Từ \(\left( * \right) \Rightarrow {t^{\log a}} < t \Rightarrow \log a < 1 \Leftrightarrow a < 10\,\,\left( 3 \right)\)

Khi đó, phương trình \(\left( * \right) \Leftrightarrow {t^{\log a}} – t + 3 = 0\)

Xét \(f\left( t \right) = {t^{\log a}} – t + 3\) với \(t > 4\). Ta có \(f’\left( t \right) = \log a.{t^{\log a – 1}} – 1\)

Do \(\left\{ \begin{array}{l}\log a < 1\\{t^{\log a – 1}} < {t^o} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \log a.{t^{\log a – 1}} – 1 < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\forall t > 4\) hay \(f’\left( t \right) < 0\,\,\,\forall t > 4\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f\left( t \right) = – \infty \)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy để phương trình có nghiệm thì \(f\left( 4 \right) > 0\)

\( \Leftrightarrow {4^{\log a}} – 1 > 0 \Leftrightarrow {4^{\log a}} > 1 \Leftrightarrow \log a > 0 \Leftrightarrow a > 1\,\,\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right) \Rightarrow 1 < a < 10\). Mà \(a > 2\) và \(a \in \mathbb{Z} \Rightarrow a = \left\{ {3;4;…;9} \right\}\)

Vậy có \(7\) số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

=======