Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x\,;\,y} \right)\) thỏa mãn \(1 \le x \le 2022\) và \(x + {x^2} – {25^y} = {5^y}\).

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x\,;\,y} \right)\) thỏa mãn \(1 \le x \le 2022\) và \(x + {x^2} – {25^y} = {5^y}\).
A. \(1010\).

B. \(2022\).

C. \(7\).

D. \(5\).

Lời giải

Theo bài: \(x + {x^2} – {25^y} = {5^y} \Leftrightarrow x + {x^2} = {5^y} + {25^y}\).
Xét hàm \(f\left( t \right) = t + {t^2},\,\,(t > 0)\).
Ta có: \(f’\left( t \right) = 1 + 2t > 0,\forall t > 0\) \( \Rightarrow f\left( t \right)\) là hàm đồng biến trên \(\left( {0\,; + \infty } \right)\).
Vì vậy, \((1) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( {{5^y}} \right) \Leftrightarrow x = {5^y}\).
Theo giả thiết, \(1 \le x \le 2022 \Leftrightarrow 1 \le {5^y} \le 2022 \Leftrightarrow 0 \le y \le {\log _5}2022\).
Vì \(y\) nguyên nên \(\left[ \begin{array}{l}y = 0 \Rightarrow x = 1\\y = 1 \Rightarrow x = 5\\y = 2 \Rightarrow x = 25\\y = 3 \Rightarrow x = 125\\y = 4 \Rightarrow x = 625\end{array} \right.\). Vậy có tất cả \(5\)cặp \(\left( {x\,;\,y} \right)\) thỏa mãn.