Tính tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình phương trình \({5^{{x^2} – 2}} = {5^{{x^4} – {x^2} – 1}} + {\left( {{x^2} – 1} \right)^2}\).
A. \(1\).
B. \(5\).
C. \(2\).
D. \(0\).
Lời giải
\({5^{{x^2} – 2}} = {5^{{x^4} – {x^2} – 1}} + {\left( {{x^2} – 1} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {5^{{x^2} – 2}} + {x^2} – 2 = {5^{{x^4} – {x^2} – 1}} + {x^4} – {x^2} – 1\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {5^t} + t\)\(,t \in \mathbb{R}\)\( \Rightarrow f’\left( t \right) = {5^t}\ln 5 + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
\( \Rightarrow y = f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Ta có \( \Leftrightarrow f\left( {{x^2} – 2} \right) = f\left( {{x^4} – {x^2} – 1} \right)\)\( \Leftrightarrow {x^2} – 2 = {x^4} – {x^2} – 1\)\( \Leftrightarrow {x^4} – 2{x^2} + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} = 1\)
\( \Leftrightarrow x = \pm 1\). Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình là \(2\).