472. Có bao nhiêu số nguyên \(a \in \left[ { – 2021;2021} \right]\) sao cho tồn tại duy nhất số thực \(x\) thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\left( {x + 3} \right) = {\log _3}\left( {ax} \right)?\)

Câu hỏi: 472. Có bao nhiêu số nguyên \(a \in \left[ { – 2021;2021} \right]\) sao cho tồn tại duy nhất số thực \(x\) thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\left( {x + 3} \right) = {\log _3}\left( {ax} \right)?\) A. \(2020\).

B. \(2021\).

C. \(2022\).

D. \(2023\).

Lời giải

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 > 0\\ax > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > – 3\\ax > 0\end{array} \right..\)

Xét hàm số \(g(x) = \frac{{{x^2} + 6x + 9}}{x} \Rightarrow g'(x) = \frac{{{x^2} – 9}}{{{x^2}}}\)

\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 0\\x = – 3\end{array} \right.\)

Ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên ta suy ra \(\left[ \begin{array}{l}a < 0\\a = 12\end{array} \right. \Rightarrow a = – 2021,…, – 1,12.\)

Vậy có 2022 giá trị a thỏa mãn.

=======