Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) bất phương \(\left( {2x – 4} \right)\left( {{3^x} – y} \right) < 0\) trình có nghiệm nguyên và số nghiệm nguyên không quá 7?

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) bất phương \(\left( {2x – 4} \right)\left( {{3^x} – y} \right) < 0\) trình có nghiệm nguyên và số nghiệm nguyên không quá 7?

A. \(59049\). 

B. \(59025\). 

C. \(59024\). 

D. \(2\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \(\left( {2x – 4} \right)\left( {{3^x} – y} \right) < 0\) với \(x \in \mathbb{Z}\)và \(y \in {\mathbb{Z}^ + }\) 

TH1: Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}2x – 4 < 0\\{3^x} – y > 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x < 4\\{3^x} > y\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x > {\log _3}y\end{array} \right.\).

Theo yêu cầu bài toán, ứng với mỗi \(y\)bất phương trình có không quá \(7\) nghiệm nguyên, mà \(x < 2\) nên ta có \( – 6 \le {\log _3}y < 1\) \( \Leftrightarrow {3^{ – 6}} \le y < 3.\) Do \(y\) nguyên dương nên \(y \in \left\{ {1;2} \right\}\).Suy ra có 2 giá trị \(y\)thỏa TH1.

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}2x – 4 > 0\\{3^x} – y < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x > 4\\{3^x} < y\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x < {\log _3}y\end{array} \right.\).

Theo yêu cầu bài toán, ứng với mỗi \(y\) bất phương trình có không quá \(7\)nghiệm nguyên, mà \(x > 2\) nên ta có \(3 < {\log _3}y \le 10\) \( \Leftrightarrow 27 < y \le {3^{10}} \Leftrightarrow 27 < y \le 59049\). Do \(y\) nguyên dương nên \(y \in \left\{ {28;29;…;59049} \right\}\). Suy ra có 59022 giá trị\(y\) thỏa yêu TH2.

Vậy có \(59024\) giá trị nguyên dương \(y\) thỏa yêu cầu đề bài.