Cho bất phương trình \({\log _3}\left( {3{x^2} – 6x + 6} \right) \ge {3^{{y^2}}} + {y^2} – {x^2} + 2x – 1\). Hỏi có bao nhiêu cặp số \(\left( {x;y} \right)\) với \(0 < x \le 2020{\rm{ }}\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)\) thỏa mãn bất phương trình đã cho?

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Cho bất phương trình \({\log _3}\left( {3{x^2} – 6x + 6} \right) \ge {3^{{y^2}}} + {y^2} – {x^2} + 2x – 1\). Hỏi có bao nhiêu cặp số \(\left( {x;y} \right)\) với \(0 < x \le 2020{\rm{ }}\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)\) thỏa mãn bất phương trình đã cho?

A. \(7928\). 

B. \(7829\). 

C. \(2021\). 

D. \(2020\). 

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \({\log _3}\left( {3{x^2} – 6x + 6} \right) \ge {3^{{y^2}}} + {y^2} – {x^2} + 2x – 1\).

\( \Leftrightarrow {\log _3}3\left( {{x^2} – 2x + 2} \right) \ge {3^{{y^2}}} + {y^2} – {x^2} + 2x – 1\). 

\( \Leftrightarrow 1 + {\log _3}\left( {{x^2} – 2x + 2} \right) \ge {3^{{y^2}}} + {y^2} – {x^2} + 2x – 1\).

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} – 2x + 2} \right) + {x^2} – 2x + 2 \ge {3^{{y^2}}} + {y^2}\).

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} – 2x + 2} \right) + {x^2} – 2x + 2 \ge {\log _3}{3^{{y^2}}} + {3^{{y^2}}}\).

Xét hàm số \(f(t) = {\log _3}t + t{\rm{ }}(t > 0)\) ta có \(f'(t) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 1{\rm{ }} > 0{\rm{ }},\forall t > 0\) do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên \(f({x^2} – 2x + 2) \ge f({3^{{y^2}}}) \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 2 \ge {3^{{y^2}}}\).

Bất phương trìnhcó nghiệm khi: 

\({3^{{y^2}}} \le \mathop {\max (}\limits_{(0;2020{\rm{]}}} {x^2} – 2x + 2) \Leftrightarrow {3^{{y^2}}} \le 4076362\)\( \Leftrightarrow {y^2} \le {\log _3}4076362\)

Vì \(y \in \mathbb{N}\)nên \(y \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\). 

Với \(y = 0\) ta có\( \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 \ge 0\) do đó \(x \in \left\{ {1;2;…;2020} \right\}\) suy ra có 2020 cặp \(\left( {x;y} \right)\). 

Với \(y = 1\) ta có\( \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 1 \ge 0\) do đó \(x \in \left\{ {3;4;…;2020} \right\}\) suy ra có 2018 cặp \(\left( {x;y} \right)\). 

Với \(y = 2\) ta có\( \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 79 \ge 0\) do đó \(x \in \left\{ {10;11;…;2020} \right\}\) suy ra có 2011 cặp \(\left( {x;y} \right)\). 

Với \(y = 3\) ta có\( \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 19681 \ge 0\) do đó \(x \in \left\{ {142;143;…;2020} \right\}\) suy ra có 1879 cặp \(\left( {x;y} \right)\). 

Do đó có tất cả 7928 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.