471. Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\)thỏa mãn \(0 \le x \le 2020\) và \({\log _2}\left( {x + 1} \right) + x – 3y + 1 = {8^y}\).

Câu hỏi:
471. Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\)thỏa mãn \(0 \le x \le 2020\) và \({\log _2}\left( {x + 1} \right) + x – 3y + 1 = {8^y}\).

A. \(2019\).

B. \(4\).

C. \(2015\).

D. \(1\).

Lời giải

Ta có

\({\log _2}\left( {x + 1} \right) + x – 3y + 1 = {8^y} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right) = {2^{3y}} + 3y\).

Đặt \(u = {\log _2}\left( {x + 1} \right) \Rightarrow x + 1 = {2^u}\).

Phương trình được viết lại thành \({2^u} + u = {2^{3y}} + 3y \Leftrightarrow f\left( u \right) = f\left( {3y} \right) \Leftrightarrow u = 3y\) (Vì hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + t\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)).

Suy ra \({\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3y \Leftrightarrow x = {2^{3y}} – 1\) mà \(0 \le x \le 2020\). Suy ra \(0 \le {2^{3y}} – 1 \le 2020 \Leftrightarrow 1 \le {2^{3y}} \le 2021 \Leftrightarrow 0 \le y \le 3,66\).

Mà \(y \in \mathbb{Z}\) nên \(y \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\).

Với \(y = 0 \Rightarrow x = 0\).

Với \(y = 1 \Rightarrow x = 7\).

Với \(y = 2 \Rightarrow x = 63\).

Với \(y = 3 \Rightarrow x \({\log _{\sqrt 3 }}\left( {x + 3} \right) = {\log _3}\left( {ax} \right) \Leftrightarrow {\log _3}{\left( {x + 3} \right)^2} = {\log _3}ax \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} = ax \Leftrightarrow a = \frac{{{x^2} + 6x + 9}}{x}\)= 511\).

=======