DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) bất phương trình\(\left( {{{\log }_2}x + x – 3} \right)\left( {{{\log }_2}x – \sqrt y } \right) < 0\) có nghiệm nguyên \(x\)và số nghiệm nguyên \(x\) không vượt quá 10.
A. Vô số.
B. \(10\).
C. \(12\).
D. \(11\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Điều kiện: \(x > 0\).
Xét \(f\left( x \right) = {\log _2}x + x – 3,\,\,\,x > 0\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0\,;\, + \infty } \right)\) và \(f\left( 2 \right) = 0\).
Do đó: \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x > 2\) và \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2\).
Khi đó:
BPT \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}x + x – 3 < 0\\{\log _2}x – \sqrt y > 0\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}x + x – 3 > 0\\{\log _2}x – \sqrt y < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x < 2\\x > {2^{\sqrt y }}\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x < {2^{\sqrt y }}\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < x < {2^{\sqrt y }}\)
.
Với mỗi số nguyên dương \(y\) BPT có nghiệm nguyên \(x\) và số nghiệm nguyên \(x\) không vượt quá 10 nên ta có:
\(3 < {2^{\sqrt y }} \le 13 \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_2}3} \right)^2} < y \le {\left( {{{\log }_2}13} \right)^2}.\)
Mà \(y \in {\mathbb{Z}^ + }\) suy ra \(y \in \left\{ {3\,,\,4\,,…,\,13} \right\}\). Vậy có 11 giá trị thỏa mãn ycbt.
Trả lời