Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) bất phương trình\(\left( {{{\log }_2}x + x – 3} \right)\left( {{{\log }_2}x – \sqrt y } \right) < 0\) có nghiệm nguyên \(x\)và số nghiệm nguyên \(x\) không vượt quá 10. 

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) bất phương trình\(\left( {{{\log }_2}x + x – 3} \right)\left( {{{\log }_2}x – \sqrt y } \right) < 0\) có nghiệm nguyên \(x\)và số nghiệm nguyên \(x\) không vượt quá 10. 

A. Vô số. 

B. \(10\). 

C. \(12\). 

D. \(11\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Điều kiện: \(x > 0\). 

Xét \(f\left( x \right) = {\log _2}x + x – 3,\,\,\,x > 0\).

Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0\,;\, + \infty } \right)\) và \(f\left( 2 \right) = 0\). 

Do đó: \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x > 2\) và \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2\).

Khi đó:

BPT \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}x + x – 3 < 0\\{\log _2}x – \sqrt y  > 0\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}x + x – 3 > 0\\{\log _2}x – \sqrt y  < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x < 2\\x > {2^{\sqrt y }}\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x < {2^{\sqrt y }}\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < x < {2^{\sqrt y }}\)

.

Với mỗi số nguyên dương \(y\) BPT có nghiệm nguyên \(x\) và số nghiệm nguyên \(x\) không vượt quá 10 nên ta có:

\(3 < {2^{\sqrt y }} \le 13 \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_2}3} \right)^2} < y \le {\left( {{{\log }_2}13} \right)^2}.\)

Mà \(y \in {\mathbb{Z}^ + }\) suy ra \(y \in \left\{ {3\,,\,4\,,…,\,13} \right\}\). Vậy có 11 giá trị thỏa mãn ycbt.