474. Tổng các nghiệm của phương trình sau \({7^{x – 1}} = 6{\log _7}\left( {6x – 5} \right) + 1\) bằng

Câu hỏi:
474. Tổng các nghiệm của phương trình sau \({7^{x – 1}} = 6{\log _7}\left( {6x – 5} \right) + 1\) bằng

A. \(2\).

B. \(3\).

C. \(1\).

D. \(10\).

Lời giải

Điều kiện: \(x > \frac{5}{6}.\)

Đặt \(y – 1 = {\log _7}\left( {6x – 5} \right)\) thì ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}{7^{x – 1}} = 6\left( {y – 1} \right) + 1\\y – 1 = {\log _7}\left( {6x – 5} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{7^{x – 1}} = 6y – 5\\{7^{y – 1}} = 6x – 5\end{array} \right. \Rightarrow {7^{x – 1}} + 6x = {7^{y – 1}} + 6y\)(2)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {7^{t – 1}} + 6t\) với \(t > \frac{5}{6}\) thì \(f’\left( t \right) = {7^{t – 1}}\ln 7 + 6 > 0,\forall t > \frac{5}{6} \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến nên

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y\) khi đó ta có phương trình \({7^{x – 1}} – 6x + 5 = 0.\) (3)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {7^{x – 1}} – 6x + 5\) với \(x > \frac{5}{6}\) thì \(\forall x > \frac{5}{6}\)

nên suy ra phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có không quá hai nghiệm.

Mặt khác \(g\left( 1 \right) = g\left( 2 \right) = 0\) nên \(x = 1\) và \(x = 2\) là 2 nghiệm của phương trình (3).

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là \(x = 1\) và \(x = 2\).

Suy ra tổng các nghiệm của phương trình là \(1 + 2 = 3\).

=======