3: Công ty X muốn thiết kế các hộp chứa sản phẩm dạng hình trụ có nắp với dung tích bằng

\(100\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\), bán kính đáy \(x\) cm, chiều cao \(h\) cm. Khi thiết kế, công ty X luôn đặt mục tiêu sao cho vật liệu làm vỏ hộp là ít nhất, nghĩa là diện tích toàn phần hình trụ là nhỏ nhất. Khi đó,

kích thước của \(x\) và \(h\) gần bằng số nào nhất trong các số dưới đây để công ty X tiết kiệm được vật liệu nhất?

\(100\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\), bán kính đáy \(x\) cm, chiều cao \(h\) cm. Khi thiết kế, công ty X luôn đặt mục tiêu sao cho vật liệu làm vỏ hộp là ít nhất, nghĩa là diện tích toàn phần hình trụ là nhỏ nhất. Khi đó,

kích thước của \(x\) và \(h\) gần bằng số nào nhất trong các số dưới đây để công ty X tiết kiệm được vật liệu nhất?

A. \(h \approx 6,476cm\) và \(x \approx 2,217cm\).

B. \(h \approx 6,476cm\) và \(x \approx 2,217cm\).

C. \(h \approx 5,031cm\) và \(x \approx 2,515cm\).

D. \(h \approx 3,261cm\) và \(x \approx 3,124cm\).

Lời giải

Ta có: \(V = \pi {x^2}h.\)

Theo giả thiết thể tích hình trụ bằng 100 cm³ nên: \(V = 100 \Leftrightarrow \pi {x^2}h = 100 \Leftrightarrow h = \frac{{100}}{{\pi {x^2}}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} (*)\)

Chi phí sản xuất là thấp nhất khi diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất.

\({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_d}\) (**).

Thay (*) vào (**) ta có: \({S_{tp}} = 2\pi ({x^2} + \frac{{100}}{{\pi x}})\).

\({x^2} + \frac{{100}}{{\pi x}} = {x^2} + \frac{{50}}{{\pi x}} + \frac{{50}}{{\pi x}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{2500.{x^2}}}{{{\pi ^2}.{x^2}}}}} = 3\sqrt[3]{{\frac{{2500}}{{{\pi ^2}}}}}\) ( Bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương).

Dấu bằng xảy ra khi \(x = \sqrt[3]{{\frac{{50}}{\pi }}} \approx 2,515\).