Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
2: Ông An dự định làm một cái bể chứa nước hình trụ bằng inox có nắp đậy với thể tích là \(k\left( {{m^3}} \right)\), \(\left( {k > 0} \right)\). Chi phí mỗi \({m^2}\) đáy là \(600\) nghìn đồng, mỗi \({m^2}\) nắp là \(200\) nghìn đồng và mỗi \({m^2}\) mặt bên là \(400\) nghìn đồng. Hỏi ông An cần chọn bán kính đáy của bể là bao nhiêu để chi phí làm bể là ít nhất?
A. \(r = \sqrt[3]{{\frac{k}{\pi }}}\).
B. \(r = \sqrt[3]{{\frac{{2\pi }}{k}}}\).
C. \(r = \sqrt[3]{{\frac{k}{{2\pi }}}}\).
D. \(r = \sqrt[3]{{\frac{k}{2}}}\).
Lời giải
Chọn C
Gọi \(R,h\) là bán kính đáy và chiều cao hình trụ của bể nước. Khi đó: \(k = \pi {R^2}h{\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {{m^3}} \right)\).
Gọi \({S_1}{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {S_2}{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {S_3}\) lần lượt là diện tích đáy trên, đáy dưới và mặt bên của khối trụ.
Trong đó: \({S_1} = {S_2} = \pi {R^2}\); \({S_3} = 2\pi Rh = \frac{{2k}}{R}\) (1).
Theo giả thiết, ta có tổng chi phí ông An cần để làm bể là:
\(T = 200{S_1} + 600{S_2} + 400{S_3}\) (đơn vị: nghìn đồng) (2).
Thay (1) vào (2): \(T = 200{S_1} + 600{S_2} + 400{S_3} \Leftrightarrow T = 800\pi {R^2} + 800\frac{k}{R}\)
\( \Leftrightarrow T = 800\pi {R^2} + 800\frac{k}{{2R}} + 800\frac{k}{{2R}}\).
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương \(\left( {800\pi {R^2}{\kern 1pt} ;{\kern 1pt} 800\frac{k}{{2R}}{\kern 1pt} ;{\kern 1pt} 800\frac{k}{{2R}}} \right)\).
\( \Leftrightarrow T = 800\pi {R^2} + 800\frac{k}{{2R}} + 800\frac{k}{{2R}} \ge 2400\sqrt[3]{{\frac{{\pi {k^2}}}{4}}}\).
Dấu đẳng thức xảy ra khi \({R^3} = \frac{k}{{2\pi }} \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{k}{{2\pi }}}}{\kern 1pt} \left( m \right)\).
Vậy chi phí làm bể ít nhất là \({T_{\min }} = 2400\sqrt[3]{{\frac{{\pi {k^2}}}{4}}}\)(nghìn đồng).
Để lại một bình luận