10: Cho hình nón \(\left( N \right)\) có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\). Một mặt cầu \(\left( S \right)\) tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và tiếp xúc với đáy nón, có tâm cầu nằm trong hình nón và bán kính \(R = 3\). Thể tích của khối nón \(\left( N \right)\) lớn nhất bằng

DẠNG TOÁN 44 KHỐI TRÒN XOAY BÀI TOÁN THỰC TẾ – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
10: Cho hình nón \(\left( N \right)\) có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\). Một mặt cầu \(\left( S \right)\) tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và tiếp xúc với đáy nón, có tâm cầu nằm trong hình nón và bán kính \(R = 3\). Thể tích của khối nón \(\left( N \right)\) lớn nhất bằng

A. \(72\pi \)

B. \(36\pi \sqrt 3 \).

C. \(54\pi \).

D. \(96\pi \).

Lời giải

Chọn A

Ta có : \(\frac{{SI}}{{SA}} = \frac{{IM}}{{OA}} \Leftrightarrow \frac{{h – R}}{{\sqrt {{h^2} + {r^2}} }} = \frac{R}{r} \Rightarrow {r^2} = \frac{{{R^2}.h}}{{h – 2R}}\).

Thể tích khối nón \(\left( N \right)\) là : \({V_{\left( N \right)}} = \frac{\pi }{3}{r^2}h = \frac{\pi }{3}.\frac{{{R^2}.h}}{{h – 2R}}.h = \frac{{\pi {R^2}}}{3}.\frac{{{h^2}}}{{h – 2R}}\).

Khảo sát nhanh theo biến là chiều cao \(h > 2R\) hoặc vận dụng BĐT CÔ-SI ta có :

\({V_{\left( N \right)}} = \frac{{\pi {R^2}}}{3}.\frac{{{h^2}}}{{h – 2R}} = \frac{{\pi {R^2}}}{3}.\left( {h + 2R + \frac{{4{R^2}}}{{h – 2R}}} \right) = \frac{{\pi {R^2}}}{3}.\left( {\left( {h – 2R} \right) + \frac{{4{R^2}}}{{h – 2R}} + 4R} \right)\).

Suy ra \({V_{\left( N \right)}} = \frac{{\pi {R^2}}}{3}.\left( {\left( {h – 2R} \right) + \frac{{4{R^2}}}{{h – 2R}} + 4R} \right) \ge \frac{{\pi {R^2}}}{3}.\left( {2\sqrt {\left( {h – 2R} \right).\frac{{4{R^2}}}{{h – 2R}}}  + 4R} \right) = \frac{{8\pi {R^3}}}{3}\).

Dấu = xảy ra khi : \(h – 2R = \frac{{4{R^2}}}{{h – 2R}} \Leftrightarrow h = 4R\).

GTNN của thể tích khối nón : \({V_{\left( N \right)\_\min }} = \frac{{8\pi {R^3}}}{3} = \frac{{8\pi {{.3}^3}}}{3} = 72\pi \) khi \(h = 4R = 12\).