1. Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm \(I\left( {2;1;1} \right)\) và bán kính bằng \(4\), cho mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\) có tâm \(J\left( {2;1;5} \right)\) và bán kính bằng \(2\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng tiếp xúc với hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right);\left( {{S_2}} \right)\). Đặt \(M,m\) lần lượt là giá trịlớn nhất và giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( P \right)\). Giá trị \(M + m\) bằng

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

1. Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm \(I\left( {2;1;1} \right)\) và bán kính bằng \(4\), cho mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\) có tâm \(J\left( {2;1;5} \right)\) và bán kính bằng \(2\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng tiếp xúc với hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right);\left( {{S_2}} \right)\). Đặt \(M,m\) lần lượt là giá trịlớn nhất và giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( P \right)\). Giá trị \(M + m\) bằng
A.\(8\sqrt 3 \).
B. \(8\).
C. \(9\).
D. \(\sqrt {15} \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) để đạt \(\min ,\;\max \) khi \(\left( P \right)\) vuông góc với \(\left( {OIJ} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_{OIJ}}} = \left[ \begin{array}{l}\left( {2;1;1} \right)\\\left( {2;1;5} \right)\end{array} \right] = \left( {4; – 8;0} \right) = 4\left( {1; – 2;0} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {2a;a;b} \right)\) thì.
Gọi mặt \(\left( P \right):2ax + ay + bz + c = 0\). Ta có
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}d\left( {I;\left( P \right)} \right) = 4\\d\left( {J;\left( P \right)} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{|5a + b + c|}}{{\sqrt {5{a^2} + {b^2}} }} = 4\\\frac{{|5a + 5b + c|}}{{\sqrt {5{a^2} + {b^2}} }} = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5a + b + c = 10a + 10b + 2c \Rightarrow c = – 5a – 9b\\5a + b + c = – 10a – 10b – 2c \Rightarrow c = \frac{1}{3}\left( { – 15a – 11b} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
TH1: \(c = – 5a – 9b \Rightarrow \frac{{| – 8b|}}{{\sqrt {5{a^2} + {b^2}} }} = 4 \Rightarrow 80{a^2} + 16{b^2} = 64{b^2} \Leftrightarrow 80{a^2} = 48{b^2} \Leftrightarrow 5{a^2} = 3{b^2}\)
\(3{b^2} = 5{a^2}\), ta chọn
\(\begin{array}{l}b = 5;a = \sqrt {15} ;b = 5;a = – \sqrt {15} \\\left( {{P_1}} \right):2\sqrt {15} \left( {x – 2} \right) + \sqrt {15} \left( {y – 1} \right) + 5\left( {z – 9} \right) = 0\\\left( {{P_2}} \right): – 2\sqrt {15} \left( {x – 2} \right) – \sqrt {15} \left( {y – 1} \right) + 5\left( {z – 9} \right) = 0\\d\left( {O;\left( {{P_1}} \right)} \right) = \frac{{| – 5\sqrt {15} – 45|}}{{10}} = \frac{{45 + 5\sqrt {15} }}{{10}}\\d\left( {O;\left( {{P_2}} \right)} \right) = \frac{{|5\sqrt {15} – 45|}}{{10}} = \frac{{45 – 5\sqrt {15} }}{{10}}\end{array}\)
Suy ra \(M + m = 9\).
========

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)