Câu hỏi:
Xét số phức \(z\)thỏa mãn: \(\left| {z + 4 + i} \right| + \left| {z – 4 – 3i} \right| = 10\). Giá trị lớn nhất của \(\left| {z + 3 – 7i} \right|\) bằng
A. \(4\sqrt 5 \) .
B. \(\frac{{\sqrt {71} }}{4}\).
C. \(2\sqrt 5 \).
D. \(\frac{{5\sqrt {13} }}{2}\).
Lời giải
Đặt: \(z = \frac{\omega }{{ – 2 + i}} + i\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z + 4 + i = \frac{{\omega – 10}}{{ – 2 + i}}\\z – 4 – 3i = \frac{{\omega + 10}}{{ – 2 + i}}\\z + 3 – 7i = \frac{{\omega + 15i}}{{ – 2 + i}}\end{array} \right.\).
Ta có: \(\left| {z + 4 + i} \right| + \left| {z – 4 – 3i} \right| = 10\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {\omega – 10} \right|}}{{\sqrt 5 }} + \frac{{\left| {\omega + 10} \right|}}{{\sqrt 5 }} = 10\)\( \Leftrightarrow \left| {\omega – 10} \right| + \left| {\omega + 10} \right| = 10\sqrt 5 {\rm{ }}\left( * \right)\).
Phương trình \(\left( * \right)\) biểu diễn Elip \(\left( E \right)\)có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với \(\left\{ \begin{array}{l}2a = 10\sqrt 5 \\2c = 20\\{b^2} = {a^2} – {c^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 125\\{b^2} = 25\end{array} \right.\).
Suy ra: \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{125}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = 125 – 5{y^2}\).
\(\forall M\left( {x;y} \right) \in \left( E \right) \Leftrightarrow M\left( { \pm \sqrt {125 – 5{y^2}} ;y} \right)\).
Ta có \(\left| {z + 3 – 7i} \right| = \left| {\frac{{\omega + 15i}}{{ – 2 + i}}} \right| = \frac{{\left| {\omega + 15i} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{MK}}{{\sqrt 5 }}{\rm{ ; }}K\left( {0; – 15} \right)\).
\(\frac{{MK}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 15} \right)}^2}} }}{{\sqrt 5 }}\)\( = \frac{{\sqrt {125 – 5{y^2} + {{\left( {y + 15} \right)}^2}} }}{{\sqrt 5 }}\)\( = \frac{{\sqrt {\frac{{1625}}{4} – 4{{\left( {y – \frac{{15}}{4}} \right)}^2}} }}{{\sqrt 5 }}\)
\( \Rightarrow \frac{{MK}}{{\sqrt 5 }} \le \frac{{5\sqrt {13} }}{2}\)\( \Rightarrow \left| {z + 3 – 7i} \right| \le \frac{{5\sqrt {13} }}{2}\).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{} {\mkern 1mu} \left| {z + 3 – 7i} \right| = \frac{{5\sqrt {13} }}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm \frac{{5\sqrt {35} }}{4}\\y = \frac{{15}}{4}\end{array} \right..\)
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời