Xét hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn điều kiện \(f\left( 1 \right) = 1\) và \(f\left( 2 \right) = 4\). Tính \(J = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{{f’\left( x \right) + 2}}{x} – \frac{{f\left( x \right) + 1}}{{{x^2}}}} \right){\rm{d}}x} \).

DẠNG TOÁN 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Xét hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn điều kiện \(f\left( 1 \right) = 1\) và \(f\left( 2 \right) = 4\). Tính \(J = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{{f’\left( x \right) + 2}}{x} – \frac{{f\left( x \right) + 1}}{{{x^2}}}} \right){\rm{d}}x} \).

A.\(J = 1 + \ln 4\).

B. \(J = 4 – \ln 2\).

C. \(J = \ln 2 – \frac{1}{2}\).

D. \(J = \frac{1}{2} + \ln 4\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \(J = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{{f’\left( x \right) + 2}}{x} – \frac{{f\left( x \right) + 1}}{{{x^2}}}} \right){\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_1^2 {\frac{{f’\left( x \right)}}{x}{\rm{d}}x – \int\limits_1^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} }  + \int\limits_1^2 {\left( {\frac{2}{x} – \frac{1}{{{x^2}}}} \right){\rm{d}}x} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{x}\\{\rm{d}}v = f’\left( x \right){\rm{d}}x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u =  – \frac{1}{{{x^2}}}{\rm{d}}x\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\).

\(J = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{{f’\left( x \right) + 2}}{x} – \frac{{f\left( x \right) + 1}}{{{x^2}}}} \right){\rm{d}}x} \)\( = \left. {\frac{1}{x}.f\left( x \right)} \right|_1^2 + \int\limits_1^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x}  – \int\limits_1^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x}  + \int\limits_1^2 {\left( {\frac{2}{x} – \frac{1}{{{x^2}}}} \right){\rm{d}}x} \)

\( = \frac{1}{2}f\left( 2 \right) – f\left( 1 \right) + \left. {\left( {2\ln x + \frac{1}{x}} \right)} \right|_1^2 = \frac{1}{2} + \ln 4\).