Xét các số thực dương \(x,{\rm{ }}y\) thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x – 3} \right) + y\left( {y – 3} \right) + xy\).

Tìm giá trị lớn nhất của \(P = \frac{{3x + 2y + 1}}{{x + y + 6}}\).

A. \(3\)

B. \(4\)

C. \(2\)

D. \(1\)

Lời giải:

Chọn D

Ta có \({\log _{\sqrt 3 }}\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x – 3} \right) + y\left( {y – 3} \right) + xy\)

\( \Leftrightarrow \left( {{{\log }_{\sqrt 3 }}\left( {x + y} \right)} \right) + 3\left( {x + y} \right) + 2 = \left( {{{\log }_{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right)} \right) + \left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {{{\log }_{\sqrt 3 }}\left( {x + y} \right)} \right) + 3\left( {x + y} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}3 = \left( {{{\log }_{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right)} \right) + \left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {{{\log }_{\sqrt 3 }}\left[ {3\left( {x + y} \right)} \right]} \right) + 3\left( {x + y} \right) = \left( {{{\log }_{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right)} \right) + \left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right)\) \(\left( * \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _{\sqrt 3 }}t + t\), với \(t > 0\).

có \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t.\ln \sqrt 3 }} + 1 > 0\), \(\forall t > 0\).

Vậy hàm số \(f\left( t \right)\) liên tục và đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó: \(f\left( {3\left( {x + y} \right)} \right) = f\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) \Leftrightarrow 3\left( {x + y} \right) = {x^2} + {y^2} + xy + 2\) \(\left( 1 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) \( \Leftrightarrow xy = {\left( {x + y} \right)^2} – 3\left( {x + y} \right) + 2\).

Ta có \(x = x + xy – xy = x\left( {y + 1} \right) – xy \le {\left( {\frac{{x + y + 1}}{2}} \right)^2} – xy\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x = y + 1\).

Do đó từ \(\left( 1 \right)\), suy ra: \(x \le \frac{{{{\left( {x + y + 1} \right)}^2}}}{4} – {\left( {x + y} \right)^2} + 3\left( {x + y} \right) – 2\).

Đặt \(t = x + y\), \(t > 0\).

Suy ra: \(P = \frac{{2\left( {x + y} \right) + 1 + x}}{{x + y + 6}} \le \frac{{2t + 1 + \frac{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}{4} – {t^2} + 3t – 2}}{{t + 6}} = \frac{{ – 3{t^2} + 22t – 3}}{{4\left( {t + 6} \right)}} = f\left( t \right)\).

Ta có: \(f’\left( t \right) = \frac{{ – 3{t^2} – 36t + 135}}{{4{{\left( {t + 6} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = 3\) (nhận).

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT, ta có \(\max P = \mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( t \right) = f\left( 3 \right) = 1\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = y + 1\\x + y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\).