Gọi \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x(x – 3) + y(y – 3) + xy\) sao cho biểu thức \(P = \frac{{4x + 5y – 3}}{{x + 2y + 1}}\) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó \(2023x + 2024y\) bằng

Gọi \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x(x – 3) + y(y – 3) + xy\) sao cho biểu thức \(P = \frac{{4x + 5y – 3}}{{x + 2y + 1}}\) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó \(2023x + 2024y\) bằng

A. \(6070\).

B. \(4047\).

C. \(6071\).

D. \(8085\).

Lời giải:

Ta có: \({\log _{\sqrt 3 }}\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x(x – 3) + y(y – 3) + xy\)

\( \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}(x + y) – {\log _{\sqrt 3 }}({x^2} + {y^2} + xy + 2) = {x^2} + {y^2} + xy – 3(x + y)\)

\( \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}(x + y) + 3(x + y) + 2 = {\log _{\sqrt 3 }}({x^2} + {y^2} + xy + 2) + ({x^2} + {y^2} + xy + 2)\)

\( \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}3(x + y) + 3(x + y) = {\log _{\sqrt 3 }}({x^2} + {y^2} + xy + 2) + ({x^2} + {y^2} + xy + 2)\),

Xét hàm đặc trưng \(f(t) = {\log _{\sqrt 3 }}t + t\) liên tục và đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó \((*) \Leftrightarrow f\left( {3(x + y)} \right) = f\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right)\)\( \Leftrightarrow 3(x + y) = {x^2} + {y^2} + xy + 2\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} + 4{y^2} + 4xy + 8 – 12x – 12y = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {2x + y} \right)^2} – 6\left( {2x + y} \right) + 3{\left( {y – 1} \right)^2} + 5 = 0\)

Vì \(3{\left( {y – 1} \right)^2} \ge 0\)\( \Rightarrow {\left( {2x + y} \right)^2} – 6\left( {2x + y} \right) + 5 \le 0\)\( \Leftrightarrow 1 \le 2x + y \le 5\)

Ta có: \(P = \frac{{4x + 5y – 3}}{{x + 2y + 1}} = 2 + \frac{{2x + y – 5}}{{x + 2y + 1}} \le 2\) ( do \(2x + y – 5 \le 0\)).

Suy ra: \({P_{\max }} = 2\), xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}y – 1 = 0\\2x + y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\).

Vậy: \(2023x + 2024y = 6070\).

===========

Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024