Cho các số thực \(x \ne 0,y > 0\) thỏa mãn \({\log _2}\frac{y}{{2{x^2}}} + {y^2} = {x^4} – 1\). Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của tham số \(m\) để với mỗi \(m\) có đúng \(3\) cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(\frac{m}{2}\left( {{2^{y – 2x}} + {2^{ – y + 4x}}} \right) = {\frac{m}{4}^2} + {2^{2x}}\). Tổng các phần tử trong \(S\) bằng

A. \(49\).

B. \(50\).

C. \(51\).

D. \(48\).

Lời giải:

+) Với \(x \ne 0,y > 0\), \({\log _2}\frac{y}{{2{x^2}}} + {y^2} = {x^4} – 1 \Leftrightarrow {\log _2}y + {y^2} = {x^4} + {\log _2}{x^2} – 1 + {\log _2}2\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}y + {y^2} = {\log _2}{x^2} + {x^4} \Leftrightarrow f\left( y \right) = f\left( {{x^2}} \right)\) (1)

với \(f\left( t \right) = {\log _2}t + {t^2}\) là hàm đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). Do đó, \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow y = {x^2}\).

+) \(\frac{m}{2}\left( {{2^{y – 2x}} + {2^{ – y + 4x}}} \right) = {\frac{m}{4}^2} + {2^{2x}} \Leftrightarrow \left( {{2^{y – 2x}} – \frac{m}{2}} \right)\left( {{2^{4x – y}} – \frac{m}{2}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{m}{2} = {2^{y – 2x}} = {2^{{x^2} – 2x}}\\\frac{m}{2} = {2^{4x – y}} = {2^{4x – {x^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} – 2x – {\log _2}m + 1 = 0\\{x^2} – 4x + {\log _2}m – 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} – 2x + 1 = {\log _2}m\\ – {x^2} + 4x + 1 = {\log _2}m\end{array} \right.\)

+ Vẽ đồ thị hai parabol \(({P_1}):y = {x^2} – 2x + 1\) và \(({P_2}):y = – {x^2} + 4x + 1\) trên cùng một hệ trục tọa độ.

+ Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm của \(({P_1})\) và \(({P_2})\)

\(\left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} – 2x + 1\\y = – {x^2} + 4x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 0\end{array} \right.\\y = – {x^2} + 4x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

+ Để hệ có đúng 3 cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thì (*) có 3 nghiệm phân biệt khác 0. Từ đồ thị ta thấy \(\left[ \begin{array}{l}{\log _2}m = 0\\{\log _2}m = 1\\{\log _2}m = 4\\{\log _2}m = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\\m = 16\\m = 32\end{array} \right. \Rightarrow S = \left\{ {1;2;16;32} \right\} \Rightarrow \sum {m = 51.} \)