Cho \(x,y\) nguyên và \(0 \le x \le 2024\) thỏa mãn \({\log _2}\left( {\frac{{2x + 6}}{{x – 1}}} \right) + \frac{8}{{x – 1}} = y – 2 + {2^y}\). Khi đó \(x + 2y\) bằng:

Cho \(x,y\) nguyên và \(0 \le x \le 2024\) thỏa mãn \({\log _2}\left( {\frac{{2x + 6}}{{x – 1}}} \right) + \frac{8}{{x – 1}} = y – 2 + {2^y}\). Khi đó \(x + 2y\) bằng:

A. \(2024\).

B. \(2\).

C. \(12\).

D. \(9\).

Lời giải:

Điều kiện của \(x\): \(x \in \left( { – \infty ; – 3} \right) \cup \left( {1;\; + \infty } \right)\). Nên ta chỉ kiểm tra \(2 \le x \le 2024\)

Ta có: \({\log _2}\left( {\frac{{2x + 6}}{{x – 1}}} \right) + \frac{8}{{x – 1}} = y – 2 + {2^y} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\frac{{2x + 6}}{{x – 1}}} \right) + 2 + \frac{8}{{x – 1}} = y + {2^y}\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\frac{{2x + 6}}{{x – 1}}} \right) + \frac{{2x + 6}}{{x – 1}} = y + {2^y} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\frac{{2x + 6}}{{x – 1}}} \right) + {2^{{{\log }_2}\left( {\frac{{2x + 6}}{{x – 1}}} \right)}} = y + {2^y}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Đặt \(f\left( t \right) = {2^t} + t\).

Ta có: \(f’\left( t \right) = 1 + {2^t}.\ln 2 > 0\;\forall t\)⇒\(f\left( t \right)\) luôn đồng biến.

Do đó: \((1) \Rightarrow f\left( y \right) = f\left( {{{\log }_2}\left( {\frac{{2x + 6}}{{x – 1}}} \right)} \right) \Rightarrow y = {\log _2}\left( {\frac{{2x + 6}}{{x – 1}}} \right) \Leftrightarrow \frac{{2x + 6}}{{x – 1}} = {2^y}\)

Đặt \(u = \frac{{2x + 6}}{{x – 1}} \Rightarrow u’ = \frac{{ – 8}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} < 0\quad \forall x \in \left( { – \infty ; – 3} \right) \cup \left( {1;\; + \infty } \right)\)

Do \(2 \le x \le 2020\) và \(u = \frac{{2x + 6}}{{x – 1}}\) luôn nghịch biến trên \(\left[ {2;2024} \right]\) nên \(u \in \left[ {\frac{{4054}}{{2023}};10} \right]\)

Mà: \(u = {2^y}\) và \(y \in \mathbb{Z}\) nên \(u \in \left\{ {4;8} \right\}\)

*Với \(u = 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 = {2^y} \Leftrightarrow y = 2\\\frac{{2x + 6}}{{x – 1}} = 4 \Leftrightarrow 2x + 6 = 4x – 4 \Leftrightarrow x = 5\end{array} \right.\)

*Với \(u = 8 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}8 = {2^y} \Leftrightarrow y = 3\\\frac{{2x + 6}}{{x – 1}} = 8 \Leftrightarrow 2x + 6 = 8x – 8 \Leftrightarrow x = \frac{7}{3}\end{array} \right.\) (loại)

Vậy, phương trình có một cặp nghiệm thỏa bài toán: \(\left( {5;2} \right)\). Khi đó \(x + 2y = 9\)

===========

Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024