Có bao nhiêu giá trị nguyên \(y \le 2024\) để ứng với mỗi \(y\) tồn tại hai số thực \(x\) thỏa mãn bất phương trình \({e^{{x^2}}} + \left( {y + \ln x} \right).{e^{y + \ln x}} \le \left( {{x^3} + x} \right){e^y}\)?

A. \(2023\).

B. \(2024\).

C. \(2025\).

D. \(2026\)

Lời giải:

Chọn B

 Xét hàm số \(g\left( t \right) = {e^t} – t \Rightarrow g’\left( t \right) = {e^t} – 1\).

Ta có \(g’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {e^t} – 1 = 0 \Leftrightarrow {e^t} = 1 \Leftrightarrow t = 0\).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có \(f\left( t \right) \ge 1,\forall t \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {e^t} – t \ge 1,\forall t \in \mathbb{R}\) (1)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(t = 0\).

 Xét bất phương trình \({e^{{x^2}}} + \left( {y + \ln x} \right).{e^{y + \ln x}} \le \left( {{x^3} + x} \right){e^y}\) Điều kiện \(x > 0\).

Chia 2 vế cho \({e^y}.x\) ta được

\(\frac{{{e^{{x^2} – y}}}}{x} + y + \ln x \le {x^2} + 1\) \( \Leftrightarrow {e^{{x^2} – y – \ln x}} – \left( {{x^2} – y – \ln x} \right) \le 1\).

Mà từ (1) ta có \({e^{{x^2} – y – \ln x}} – \left( {{x^2} – y – \ln x} \right) \ge 1\).

Từ đó suy ra \({x^2} – y – \ln x = 0 \Rightarrow y = {x^2} – \ln x = f\left( x \right)\).

\(f’\left( x \right) = 2x – \frac{1}{x}\); \(f’\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) (vì \(x > 0\)).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có\(y \ge \frac{1}{2} – \ln \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) \approx 0,85\).

Vậy có \(2024\) giá trị nguyên của \(y\) thỏa mãn bất phương trình đã cho.